Prenons pour exemple l'équation

dz dz

dx dj

étant écrite ainsi :

dz X dz z

dx y dy x

36o CALCUL rWTÊGRAE.

on la comparera à l'équation (217), et l'on aura^

aor moyen de ces valeurs, les équations (221) deviendront

dz— -dx=3:o, d/ — -da:=oj

et en faisant évanouir les dénominateurs , on aura

x^z — zdar = o, y^y — xd^ = o.

Les facteurs propres à rendre ces équations intégrables

sont ~ et 2', en les substituant et en intégrant , on trouve

- et j* — a:* pour les intégrales ; mettant donc ces valeurs

à la place de U et de V, dans l'équation tF= <I>V, nous obtiendrons , pour l'ijitégrale de la proposée ,

482. U est à remarquer que si l'on eût éliminé q au lieu de p (arl. 476), les équations (221) eussent été remplacées par. celles-ci :

(226) Mdz-hNdj = o, dj* — Mdj: = o;

et comme tout ce que nous avons dit des équations (221) peut s'appliquer à celles-ci , il s'ensuit que , dans le cas ou la première des équations (221) ne serait pas intégrable, on a le droit de remplacer ces équations par le système des équations (226), ce qui revient à employer la première des équations (226) à la place de la première des équations (221)5 alors on verra si l'intégration est possible.

483» Par exemple, si l'on avait

dz dz

m- zx -y h .«r = o j

ÉQUATIONS DÏFFÉR.* PARTIELLES DU l*' ORDRE. 36 1

celte équation 9 divisée par az et comparée à Téquation (ît 1 7), Qous donnerait

a az

par conséquent, les équations (221) deviendraient

d«H dx=o, d r H — d^ = o;

az a

et en chassant les dénominateurs, on aurait

(227) azd* H- x/d-r = o, ûdj^ -+- xd.r = o.

La première de ces équations , qui contient trois variables, ne pouvant s'intégrer immédiatement, nous la remplacerons par la première des équations (226), et nous aurons, au lieu des équations (227), celles-ci :