Prenons encore pour exemple l'équation

z'-i- 2 aar =r F (ar — j) ;

faisant

cette équation devient

z' 4- 2 fli? = F a ; et en dilFérentiant , on a

d (z' 4- 2 ax) =: tfudu; prenant, par rapport à x, la diAférentielle indiquée, nous

FOMCTIOMS AKBITnlIBKS DXI l" ORDRE. 365

lézarderons z comme variable "en YerlU de X qui y est contenu, et divisant par dj;, nous aurons

, ^ . dî Au

' ax ^ Ax

opérant d'une manière analogue , par rapport à /, en regardant z comme une fonction qui ne varie qu'à cause de^, et divisant par d^, nous trouverons

pour éliminer Içs coefficients diirérenliels de du, Téqualion (sSi) nous donne

d*~'' Ay~~ '* substituant ces valeurs dans les équations (aSa) cl { a33) , nous aurons

Az . Az

i-liminant çu entre ces équations, nous obtiendrons Az Al a

DE M DfiTEBHIIATION DES FOROTIONS ARBITRAIRES QUI ENTRENT DANS LES INTÉGRALES DBS CQUATIORB DIFFËBEmi ELLES PARTIELLES DU PRRMIBR ORDRE'

488. Les fonctions arbitraires qui complètent les intégrales des équations dîBerenti elles partielles, doivent se déterminer par des conditions qui tiennent à la nuturc des problèmes qui ont donné lieu à ces équations, problèmes qui la plupart appartiennent à des ([uestions physicomathématiques. Ne voulant point nous écarler de notit sujet, nous nous bornerons à des considérations puromen' analytiques, et nous chercherons d'abord quelles sont le?

366 cAi-ciJL intéguàl.

condilions rea fermées dans l'équation

489. Dès que z est une fonction de x et de j^, cette équation peut être regardée comme celle d'une surface. Celte surface, d'après la nature de son équation , jouit de la pro-

dz . .

priété suivante, que j— doit toujours être une quantité

Cl »Â*

constante. Il suit de là que toute section EF (^g^. 91) de cette surface faite par un plan CD, parallèle à celui des x^z. est une ligne droite. En effet , quelle que soit la nature de cette section, si on la partage en un nombre infini de parties rwn\ ni^ m''^ m" m'" ^ etc., ces parties, vu leur peu d'étendue, pourront être regardées comme des lignes droites, et représenteront les éléments de la section ; l'un de ces éléments mm' faisant, avec une parallèle mn à l'axe des abscisses, un angle dont la tangente trigonométrique est représentée par -r— 9 comme cet angle est constant, iJ s'ensuit

que tous les angles m' mn^m," ni' n' ^m!" m" n" ^ etc., formés par les éléments de* la courbe, avec des parallèles /»n, m' n' ^ m" n"^ etc. , à Taxe des abscisses, seront tous égaux: ce qui prouve que la section EF est une ligne droite.