Pour donner une application de ce théorème, soit

àz dz ,

zx-^ zy -i r' = o.

ax ay

Après avoir divisé par z j:, nous comparerons cette équation à l'équation (217), ce qui nous donnera

X zx

et les équations (221). deviendront

dz — — d.r = o, d r ^ — d .« = o, zx X

ou

zxà.z — ^^dx=::o, ord/ -f-j"dar = o.

La première de ces équations cxinlenànt trois variables.

ÉQUATIONS DIFFÉR. P&nTlELLes DL' l" ORDRE. 363

nous ne «ihercherous pas k l'inlégrer dans cci éiat; mais si l'on y substitue la valeur de ydx, lirée de la seconde, elle acquiert un facteur commun x qui, élant supprimé, la rt^uit à

i;t l'on voit qu'en la multipliant par 2 , elle devient inlégrable; l'autre équation réianl aussi, on trouvera, en les inlégrant,

J'où Ton conclura que

48<i. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur les (épations dilTérentielles partielles du premier ordre, par la solution de ce problème : Une équation qui contient une jonction arbitraire d'une ou de plusieurs tiariahles âtntit donnée, trouver l'équation différentielle pnriielli! qui l'a produite.

Supposons donc que l'on ait

nous ferons

b diirérentielle de Vu devant être, en général, une fonctio lieu multipliée par du, nous pourrons êci-ire

si nous prenons la différentielle de z, par rapport à X seulement, c'est-à-dire en regardant j- comme une constanii' nous devrorjs prendre aussi la difTéreiiiielIe de u dans I.' même hypothèse; par conséquent, en divisant par éx

= ax, . = 2^j

364 ClIsCUL INTÉGRAL.

Téquation précédente, nous aurons

dz du

si nous regardons ensuite j:: comme constant, et y comme variable, nous trouverons, par un procédé analogue,

/ 7 \ dz du

les valeurs des coefficients différentiels -r- et -j—t qui en-

trent dans les équations (aap) et (a3o), s'obtiendront en dîfférentiant successivement l'équation (228), par rapport à a: et à y, ce qui nous donnera

du . du

dx ' d^

substituant ces valeurs dans les équations (229) et (aSo),

nous aurons

dz dz

éliminant cm entre ces équations, nous trouverons enfin

dz dz

-^ dx dyr