FONCTIONS ARBITRAIRES DU 1*' ORDRE

celte équation étant celle d'unedroite, et appartenant à la section EF, il s'ensuit que cette section est une ligne droite.

4-91 . La même chose ayant lieu par rapport aux autres plans sécants qu'on mènerait parallèlement à celui des j:, z , concluons que tous ces plans couperont la surface suivant des lignes droites , qui seront parallèles , puisqu'elles formeront chacune, avec une parallèle à l'axe des or, un angle dont la tangente trigonométrique sera a.

492. Si maintenant nous faisons x = o, l'équation (aSS) se réduira à z = cpj-, et sera celle d'une courbe GHK tracée sur le plan des y^ z\ celte courbe renfermant tous les points de la surface, dont les coordonnées sont a: = o , rencontrera le plan CD en i^n point m [fig- 91) qui aura j: = o pour l'une de ses coordonnées \ et puisqu'on a aussi y = AB = c , la troisième coordonnée , en vertu de l'équation (aSG) y sera z = C , valeur représentée dans la figure par Bm. Ce que nous disons du plan CD pouvant s'appliquer à tous les autres plans qui lui sont parallèles , il en résulte que par tous les points de la courbe dont z = ^y est l'équation , et qui est tracée sur le plan des y^ z, partiront des droites parallèles à Taxe des x. Voilà tout ce que nous disent les équations (234) et (aSS); et comme cette condition est toujours remplie, quelle que soit la figure de la courbe dont z:=ffy est Téqualion , on voit que celte courbe est arbitraire.

493. Il suit de ce qui précède, que la courbe GHK, dont z = <fy est l'équation, peut être composée d'arcs de différentes courbes, qui se joignent les uns les autres, ou qui laissent entre eux des interruptions , en certaines parties, comme dans la ^g, 92. Une courbe de ce dernier i];enre est appelée discontinue. Une courbe peut être aussi discontiguë; c'est ce qui arrive lorsqu'il y a interruption dans ses parties, sans que, dans l'endroit où a lieu ccllî^

368 CALCUL. INTÉGUAL.

interruption , ^o» cours soit suspendu. La courbe {fig* 93) nous eu oiTre un exemple aux points M et N qui ne se succèdent pas, et pourtant ne laissent entre eux aucun vide. Remarquons qu'en pareille circonstance, deux ordonnées différentes, telles que PJVI et PN {fig* 93) ou que QR et QS, correspondent à une même abscisse. Enfin, il est possible que la courbe soit composée d^une suite Infinie d'arcs infiniment petits, qui appartiennent chacun à des courbes différentes 5 dans ce cas, la courbe est irrégulière, comme seraient , par exemple , des traits de pliune que Ton tracerait au hasard \ mais de quelque manière que soit formée la courbe dont Téqualion est z = yj^, il suffira, pour construire la surface, de faire mouvoir une droite toujours parallèlement à ellc-mêoie, avec cette condition, que son point m parcoure la courbe GHK dont z = (fy est Féquation , et qui est tracée au hasard snr le plan àesy^ z.

àz 494. Si, au lieu de l'équation -r— = a, nous avions

cl «ir

celle-ci ; 3— ::= X, dans laquelle X fût une fonction de x ,