VA *Â

alors en menant un plan CD [fig* 91) parallèle à celui des j:, ^ , la surface serait coupée suivant une certaine section EF , qui ne serait plus une ligne droite , comme dans le cas précédent. En effet, pour tout point m'\ pris sur cette section, la tangente trigonométriquis de Tangle n! m' m'' formé par le prolongement de rélément mf mJ' àc la section , avec une parallèle à Taxe des x , sera égal« à une fonction X de l'abscisse x de ce point \ et comme Tabscissex est différente pour chaque point, il s'ensuit que Tangle n' m! m" sera différent à chaque point de la section ; ce qui nous montre que EF ne sera plus, comme précédemment, une ligne droite. La surface se construira de même que dans le problème précédent j en faisant mouvoir la section EF

FONCTIONS AliBITRAlKES BV l'** ORDRE. i6g

parallèlement à elle-même, de manière que son point m touche continuellement la courbe GHK, dont Téquation

est z = çy .

495. Supposons maintenant que, dans Téquation précédente, au lieu de X, on ait une fonction P de x et de j^^

dz l'équation j— = P, contenant trois variables, appartien-

dra encore à une surface courbe. Si nous coupons cette surface par un plan parallèle à celui des j:, z, nous aurons une section dans laquelle^ sera constant; et comme dans

tous ses points, 3— égalera une fonction de la variable .r, il

faudra donc^, ainsi que dans le cas précédent , que cette

section soit une courbe. L'équation -=- = P étant intégrée,

nous aurons, pour celle de la surface,

si dans cette équation nous donnons successivement ky les valeurs croissantes^^, j^', 7^"; J^*^7 etc., et que nous appelions P% P"., P''^, P*', etc., ce que devient alors la fonction P, nous aurons les équations

et Ton voit que ces équations appartiendront à des courbes de même nature, mais différentes de formes, puisque les valeurs de la constante jr n'y sont pas les mêmes. Ces courbes ne seront autre chose que les sections de la surface par des plans parallèles à celui des x^ z ; et, en rencontrant le plan des y, Zj elles formeront une courbe dont Téqua* tion s'obtiendra en égalant à zéro la valeur de x dans celle de la surface. Appelons Y ce que devient/ Pdx dans ce cas, nous aurons

(238) 3=:Y+yj; .

Ci Von voit qu'à cause de <f y^ la courbe, déterminée par cette équation^ doit être arbitraire; ainsi, ayant tracé à volonté [fig' 94) la courbe QRS surie plan des j, z^ si nous représentons par RL la section dont^ = J* F d a: 4- y y^ est Téquation , on fera mouvoir celte* section, en tenant son extrémité R toujours appliquée à la courbe QRS ; mais de manière que, dans ce mouvement, cette section RL prenne les formes successives déterminées parles équations (337), et Ton construirik la sui:face à laqueHe appartiendra Téqua-

ai ^ . .

tion-r- = P.

4f96. Considérons enfin l'équation générale

-5 h M -i hN=o,

dx (Ijr

dont l'intégrale est U = 4> V (art. 484). Dès que nous avons U = a et V = ft, ces équations existant chacune entre trois coordonnées , nous pouvons les' regarder comme celles de deux surfaces ^ et puisque ces coordonnées sont communes, elles doivent appartenir à la courbe d'intersection de ces deux surfaces. Cela posé, a clb étant des constantes arbitraires, si dans \] = a nous donnons k x et ky les valeurs x' et y^, nous obtiendrons pour z une fonction dex\ dej'et de a, qui déterminera un point de la surface dont U == a est l'équation. Ce point quelconque variera de position si nous donnons successivement diverses valeurs à la constante arbitraire a, ce qui revient à dire qu'en faisant varier «, nous ferons passer la surface dont U = « est l'équation, par un nouveau système de points. Ce que nous disons de U = a, pouvant s'appliquer à V = i , concluons que la courbe d'intersection des deux surfaces* changera continuellement de position, et par conséquent décrira une surface courbe, dans laquelle a et i pourront être considérés comme deux coordonnées ; et puisque la re-