Le théorème renfermé dans l'équation
(art, S87), qui seul jusqu'à présent nous a servi a établir
une différence entre les résultats fournis par la différent
tiation et ceux qui sont donnés par le calcul des variations,
va nous offrir encore des corollaires très-remarquables. En
effet, si dans Féquation (i4)î psig^ 439, on change V en d V,
on aura
(îd^V = d^dV;
transposant la caractéristique du «econd membre , on
obtiendra
Par des procédés analogues, on parviendrait «à celte équation générale,
597. La même équation (i4) va nous conduire à un théorème non moins important. Pour cela, si nous représentons par U une certaine fonction de a:, dej^, de da:, de d'x, ded'jc, etc., de àj^ de A'^j^ de d'j^, etc., et que
446 CALCUL DES VAaiATfOMS.
nous appelions V Tinlégrale de celle fonction, nous trouverons
différentiant, il viendra
U—dV,
et , par conséquent ,
^U=:^dV;
transposant la caractéristique du second membre, eu vertu de Téquation (14)5 o^ trouvera
^U = d^V; intégrant, il viendra
éliminant V au moyen de Téquation (22), on obtiendra enfin
ce qui nous apprend que l'intégrale de la variation d'une fonction est égale à la variation de cette intégrale.
598. On peut déduire de ce théorème un auti^e qui lui csl analogue pour les intégrales doubles* En effet, si nous supposons
(^) Le théorème renfermé dans cette équation a lieu égaiemeat pour les J différences finies. En effet, si dans Téquation (i3), page 439, on fait DV = l", ^ cette, équation deviendra
AU = DAV; intégrant, bri «ura
mais de Véquation DV = U on tire
«tibstituani cette valeur dans Tcquation (34), on obtiendra
i:au = ASÙ.
PRINCIPES FOKiDÀMKATAUX. 44?
] é(jualiuii (23} nous donnera
el en transposant les signes /et â (art. 597 j^ on obtiendra
On trouvera de nîême
ainsi de suite
599. Les théorèmes démontrés dans les art. 597 et 598 nous offrent de nouveaux principes que nous pouvons maintenant employer simultanément avec celui que renferment les équations (i5) page 439 î c'a^si ce que nous allons faire en clierchant quelle est la variation de la formule intégrale indéfinie /U, dans laquelle U est une fonclion de x, dey et des différentielles dx, d* j?, d^jc, etc. , dj^, d*y, à^j'y etc. Pour cet effet, supposons qu'on ait trouvé par les procédés du calcul différentiel
du = /wd.r-|- nd^x-^ pd^x -h q d^,r -H . . . -f-Mdj-f-Nd'7 + Pd^7-l-Qd«jH- . ..
^ious pouvons regarder cette équation comme provenant de celle d'un ordre immédiatement inférieur, dont on voudrait prendre la variation. La dernière différentiation qui nous a fourni la valeur de d U, nous ayant donné
du =: mdx H-/id.djr -^ p â , d^ x -+- g d.d^x -+-Md/H-Nd.d/-hPd.d'/H- Qd.d^j,
i'i notre intention étant de faire rapporter cette dernière <»pération à une variation, nous avons séparé par uu point sur la droite la caractéristique qui y est relative dans lei» termes qui, autres que mdx et Mdj^, ont subi plusieur» différenliations , et alors, ainsi que nous Tavons fait (art. 591) pour Téquation (i6), changeant cette carac-
44^ cÂLeu*L DES Variâtiojiïs.
servir à modifier convenablement les formules qui contiennent des différentielles et des variations-, car les formules qui ne contiendraient que des variations ne diffèrent pas des différentielles. Aussi, comme le dit Lagrange^ le calcul des variations a-t-îl pour but de différentier sous un noui^eau point de vue des quantités qui ont été differentiées sous un autre» C'est ce que l'on sentira, si l'on fait attention que déterminer Is variation d'une fonction V de ;^, se réduit à trouver l'accroissement de cette fonction lorsque y s'augmente de la quantité infiniment petite dy^ il est évident que cette question doit conduire aux mêmes règles que celles que l'on emploie pour obtenir les différentielles ordinaires.
