Par exemple, si l'on voulait avoir la variation de

V == « -f- ny'^',

nommant V ce que devient Y lorsque y s'accroît de la quantité infiniment petite dy.^ on aurait

V'=:«ri-/i(r.+.5/)% d'où l'on déduirait

V — V • ou ^ V = 2 /ijr^/ -t- /i^jr';

passant à la limite, ou, ce qui revient au même, effaçant le terme nây*^ qui, étant un infiniment petit du second ordre, doit être supprimé à côté du ternie injdy (art. 230), il resterait pour la variation cherchée

et l'on voit que le procédé est absolument le même que celui qui déterminerait la différentielle de V, qu'on sait être

dV = 2/i/d/.

891, En général, pour trouver la variation d'une fonc-

lion V, dont la différentielle est

(i6) . dV = Md:p-4-Nd7 4-Pdy9-i-Qd7 4-...,

il suffira de cliangCT la caractéristique d en ^, ce qui donnera

(17) ^V = M(î.?:-HN5/-hP^y9-f Q(Î7 4-....

Nous pouvons même remplacer M, N, P, Q, etc., par les coefficienls différentiels que ces lettres représentent, et nous aurons

^ do: d/ dp dq

592. Nous ne changeons pas dj^ en ây dans les coefficients différentiels; car l'un de ces coefficients différentiels, le premier par exemple > étant le quotient de Mdx par djc, on doit avoir M pour résultat, tout aussi bien que si Ton divisait Max par âx'^ îl en est de même des autres. Aussi

les coefficients différentiels -r-» -r^> -i—* ^^c-i we renfer-

d.v dy dp

ment-ils dx^ dy, dp, qu'en apparence, et ne sont-ils dans

le fond que de véritables fonctions de^, de p^ de ç, etc.

593. Remarquons que, quoique les variations soient des différentielles d'un genre particulier, il ne faut pas croire que Ox soit à l'égard de dy ce quç dx est à l'égard de dj. En effet, on choisit ordinairement dx pour variable indépendante, et Ton ne peut faire la même chose à l'égard de âx\ car nous avons vu (art. 586) que dx dépendait de ày. Ausisi la variable indépendante qui détermine l'accroissement de j^ n'est pas x, mais la constante, qui devient variable lorsque les points de la courbe changent de position. L'hypothèse de différenliation est donc différente. Par exemple, si l'on a l'équation

44 2 . CALCUL DES VARlATIOIfS.

el qu'en supposant x constant et a variable, on cherche le coefficient différentiel , nous trouverons , en désignant par A r accroissement de «,

y' — y , b^ b^ 2 ax^ x^ .

accroiss, de a h b^ b

si, au contraire, regardant a comme constant, on fait varier seulement j:, dont nous représenterons l'accroissement par A , on a

accroiss, dex h b* o^

La première hypothèse appartient à la courbe variée, et la seconde à la courbe primitive; et l'on voit qu'en passant à la limite, on obtient

dx 2a*x §y 2/2jr'

dx b^ ' § a b^ '

ce qui montre évidemment que la variable indépendante, dans le cas que nous considérons , loin d'être dx^ est da\ mais lorsque nous déterminons la variation d'une fonction V dey, nous n'examinons pas siy varie par l'accroissement que reçoit x^ ou par celui que reçoit une constante \ aussi le procédé qui détermine la variation . est-il le même que celui qui sert à différentier. *

594. Cependant on se tromperait bien si , parce que dx^ dy^ âp^ etc., entrent dans dV comme dx^ dy, d/;, etc., entrent dans dV, on concluait que (ÎV est égal h dV. Ce qui établit une différence entre ces expressions, c^est qu'on ne saurait assimiler cî.r, cîjr, <î/9, etc., dont se compose la première, aux différentielles dx ^ dy, d/?, etc. qui çonslîlucnl la seconde. En effet, dx^ ây^ âp^ etc., d'après ce qui précède, comportant une autre variable indépeiidante que celle qui a lieu pour les différentielles d^r, dj, d/?, etc., il

PRINCIPES rOWDAMENTAUX. 44^

en résolte qu'on doit être conduit , par des hypothèses différentes de diffërentiation , à des résultats différents. Aussi, lorsqu'une formule contient à la fois des différentielles et des Yariations , nous ne devons point confondre ces deux sortes de quantités ; dans le cas où une semblable formule a lieu, le théorème de Fart. 581 devient applicable , et nous allons voir quHl suffit pour établir une différence eiitre les résultats amenés par le Calcul des variations et ceux qui nous sont fournis par le Calcul différentiel. Cherchons, par exemple, la variation de la formule

ày

Pour cet effet, on déterminera la variation par la règle des fractions, dontiée art. 16, et nous obtiendrons

àx^àf — àyààx §i\j pSdx

î** dj:' àx (\x

transposant les signes, ainsi que les équations (i5) (art. 587) eu donnent le droit, on 'aura pour la varialion de p^

^ dSy d$.T

En cherchant ensuite la variation des formule?

dp dg

dx dx

on trouverait de même

dxSdp — dpSdx d.r^d^ — df/Sdx

on = — — — -; — î 0 /* = 1 :

^ dx^ dx^ '

effectuant la division et remplaçant ■—■ et -— par q et par /•,

ti •»» CI X

rm trouverait

$dp 6dx ; Sdq d^.r

ax ci.r ci.r dx

444 CALCUL DES VAHIÀTIOKS.

el eu transposanl les signes

(.0) Sg=-^-,—, Sr=^-r^.

Bemarquons que la formule (17) ne ressemble à la formule (16)^ dont elle a été déduite, que parce qu'on u a pas mis en évidence les différentielles renfermées implicitement dans les fonctions /?, </, r, etc.^ mais si nous remplaçons âp^ Sq et cîr,'par les valeurs que fournissent les équations (19) et (20), et que nous ' rassemblions d'une part les termes positifs et de l'autre les termes négatifs, nous trouverons

QX

Lorsque y seul reçoit des variations, cette équation se réduit à

àBv à\èp dSa

et comme^ en transposant les caractéristiques, on obtient

iSp $dg Sd,dy ^d^Sx dx dx d .r ' dx^

dSg ^d.d^j d^ Sy, dx . djc^ dx^

on aura, en substituant ces valeurs dans l'équation ('-^i);

d^r d^Sr d^Sr

dx ^ dj?' dx^

S95. Appliquons n^aintenant la formule (19) à la recherche de la variation de la sous- tangente. Pour cet effet, si dans l'expression de la soùs-tangente , qui (art. 71) ^s^

y -, nous éliminons le coefficient différentiel au moyen

de 1 équation — =p, nous aurons - pour celte -sous-

tangente*, prenant la variation par la règle des fractions (art. 16), nous trouverons

^ ^y y^p 0 sous- tangente = — ^ 5

mettant danà cette équation la valeur de àp^ donnée par Féquation (19), nous trouverons

S sous-tangente = -^ \ ' — h - — i — \

p /?'d.r pax

remplaçant p par sa valeur. -p» nous obtiendrons

Q jp y cl wP V

^ sous-tangente =r -7-^ ^y ; — d ^ r -h -r~ d 0 .r.

dj dj' dj