En général, pour trouver la variation d'une fane
lion V, dont la différentielle est
(i6) . dV = Mdj:-hNd7 4-Pd/7-i-Qd7 4-. ..,
il suffira de clïang<»r la caractéristique d en (?, ce qui donnera
(17) ^V = M5.r-hN^j-hP^/?-f Q^7 + ....
Nous pouvons même remplacer M, N, P, Q, etc., par les coefficients différentiels que ces lettres représentent, et nous aurons
/ o >\r dV , dV ^ dV ^ ciV ^
d-r d/ djj dq
592. Nous ne changeons pas ây en dy dans les coefficients différentiels; car Tun de ces coefficients différentiels, le premier par exemple > étant le quotient de Mdx par dor, on doit avoir M pour résultat, tout aussi bien que si l'on divisait Max par dx'^ il en est de même des autres. Aussi
les coefficients différentiels y—? -r— > -p- > etc., ne renfer-
d.x Qf ap
ment-ils dx, dy, dp, qu'en apparence, et ne sont-ils dans
le fond que de véritables fonctions de y^ de /7, de ^, etc.
593. Remarquons que, quoique les variations soient des différentielles d'un genre particulier, il ne faut pas croire que ox soit à Tégard de dy ce que dx est à l'égard de dj. En effet, on choisit ordinairement dx pour variable indépendante , et l'on ne peut faire la même chose à l'égard de dx; car nous avons vu (art. 586) que âx dépendait de dj. Aussi la variable indépendante qui détermine l'accroissement dej" n'est pas x, mais la constante, qui devient variable lorsque les points de la courbe changent de position. L'hypothèse de différentiation est donc différente. Par eiiemple, si l'on a l'équation
téristique en cF, nous obtiendrons
intégrant et mettant ensuite, dans le premier membre de cette équation, la caractéristique d devant le signe d'intégration y, comme on en a le droit (art. 597), on aura
(^^) j ^jM^7-h/N5d/-^/P^d'jr4-/Q^dY+....
Si dans le second terme, fn cî d a:, on transpose la caractéristique, et que Ton intègre ensuite par parties (art. 279), on trouvera d'abord
J'n dSx z= n $x — J § xdn.
Pour faire subir la même opération au troisième terme nous obtiendrons prélîmînairement , en transposant les signes du second membre,
fp8d'x=fpd'$x, équation qu'on peut écrire ainsi :
J'p3dKv::=fpd{d$x),
et en intégrant ensuite par parties , on trouvera
(27) J^pSd^x =z pdS.x — J'dpdS X. . ,
L'intégration par parties pouvant s'appliquer aussi à la dernière inlé;^rale de celte équation, dans laquelle le double signe d S affecte x, nous aurons de même
Jdpd Sx =:dpSx — j d^ p $ X ;
substituant celte valeur dans l'équation (97), nous obtiendrons
fp S d'x = p dS X -- dp 8 X -^ fd' p S X .
Appliquant un même procédé aux intégralesy^ycîd'x, etc., nous continuerons à inlégrer par parties jusqu'à ce qiu'
PRIUCIFES FONDAMEUTAUX. 449
nous parvenions à une intégrale qui ne contienne plus de différentielles de x mêlées à des intégrales, et nous trouverons
ainsi de suite.
Opérant de même pour j", et réunissant d'une part lies termes qui sont délivrés du signe /, et de l'autre ceux qui en sont affectés , on aura ce résultat
SfV=z (n — d/?-4-d'7 — ...)^<P -f. {p^dq -h ..,)d$x + [g — / . .)d'^-3tr -+-...
/28^ / H-(N^dP^.d»Q^...)^J 9
^ ^ ^ +(P--dQ^-...)d^r
4- / (M — dN 4- d'P — d^Q^.. . .) By. 600. Par exemple, si Ton a
^dx'^djr*
vr
en écrivant ainsi cette équation
U =5 ^dx^-hdj' X 4=»
vr
on différentiera par la règle de l'art. 14, en se servant de la caractéristique d au lieu de d , et l'on aura
les valeurs des fariations indiquées étant ensuite déterminées parles règles des n*** t6 et 21 , on trouvera
k1 , ^7 * / j—; T-; 2da:5d.r-f- ad/^dj
*-p = - i -^, ^V^dx' -f. d/* = \ ' 5
45o CALCUL I>K9 VAMATIOITS.
mettant ces valeurs dans l'ëquatîon (29), et exécutant le» opérations indiquées y on obtiendra
JU = —7 -= (f/-+- — / , , ■ - — >
rVj" vr vdx'-Fdj'
faisant pour simplifier
^daî^ -h dj'=: di, cette valeur de (î U se réduira à
i ds ^ dx ., dj ^ j
jV'r d^v^r d^vr
Ejfcomparant celte équation à la formule (aS), on trouvera
rvr <i^vJ ^^vj
/ll = 0, /7 = o, g = o, P=ro, Q=:o,etc.; et l'équation (28), réduite dans notre cas à
devient
j L \dW// 2j\/j \d*vy/ j
Cette manière de déterminer la variation de y*U appartient à Lagrange', mais quoique la marche de ses opérations soit assez simple , on peut trouver à son procédé l'inconvénient de confondre trop les quantités différentielles avec les quantités finies. Euler, qui aonna au Calcul des variations une forme plus en concordance avec sa vraie métaphysique, remplaça U par la fonction Ydj?, dans laquelle V est une fonction des variables x^y, et de leurs
PRINCI1*ES FONDAMENTAUX. 4^^
coei&cients différentiels successifs p, q^ etc., et en trouva à peu près de la manière suivante la variation ('^).
601 . On a d'abord par le théorème renfermé dans Féqua-^ tion(23)(art.597)
(3i) ^/Vdj:=/^(Vda:)j
la variation de Vda:, indiquée dans le second membre de cette équation, se déterminera par le procédé de Tart. 14, et en cela nous agirons d'une manière entièrement conforme à l'hypothèse où l'on regarde ces variations comme des quantités infiniment petites; car, dans cet art. 14, nous n'obtenons la différentielle- d'un produit de deux variables qu'en nous bornant au premier terme de la différence, ou, ce qui est la même chose, en négligeant les termes en A*, en h^j etc., du produit z'y'. Ainsi, en déterminant la variation comme on le ferait pour un produit de deux variables , nous aurons
^Vdjc = V^dx4-djc5V;
et en transposant les signes 5 et d, en vertu de l'équation (i3), page 439, on trouvera
Au moyen de cette valeur,*réquation (3i) deviendra (32) 5/Vdar=/Vd(îx-+-/dj?5V.
Appliquant au premier terme du second membre de cette équation l'intégration par parties , qui , comme conséquence de Fart. 14, suppose encore que d affecte des quantités infiniment petites, ce premier terme deviendra
(*) Euler et Lagrange considéra ient^ncoro dans V .d'autres Tariablcs r, <,tt,c,etc. ; c'est une hypothèse que nous examinerons bientôt, elnou.s verrons qu'elle ne complique pas la solution du problème.
452 CALCUL DES YkKîJLTIOTfS.
cette valeur changera T équation (Sa) en
(33) ef\da; = YSx-{-f{dx$y'^d\$x).
Développons maintenant la quantité qui est entre les parenthèses : pour cela, nous aurons préliminai rement
(34) d\='r-dx'^-r-djr^^-dp + j-dq+-^dr,..', ^ ^^ dx dy dp ^ dq dr
remplaçant les coefficients différentiels par les lettres M, N, P, Q, etc., cette équation nous donnera
(35)' dV==Mda:4- Ndj-hPd/? -H Qd^ -hRdr-h. ...
Changeant la caractéristique d en cî, nous obtiendrons pour la variation de V
équation dans laquelle les fonctions M, N , P, Q, R , etc., des variables y, p, ^, r, etc., sont les mêmes que dans l'équation précédente (art. 592).
Substituant ces valeurs de dV et de dV dans l'expression renfermée entre les parenthèses de Téquîitîon (33), nous changerons cette expression en
dar^ V — dV^;p = N (dxây — dyêx)
-f-P (d.vSp-^ dpSx) H- q{dxSq — dqSx) -H R(dAr^V— dr5x)-H. . .j
faisant dans ces équations
dxz=pdxj dp^=zqdxy dy-hrdx, dr = jdo:, etc.y
nous aurons
djF^V— dV^x = Ndr(^> — />^.r)
'^Vdx{Bp^q$x)
(36) { ,4-Qda:(5gr — r^x)
-♦-Rda:(^r — ^5x)
PftXlXCIPES FONDAMENTAUX. 4^3
Soit
(37) 8jr — p^xz=:tù\
el différentious eu employant pour pàx le procédé de la différentiation des produits de deux variables (art. 14), nous trouverons
(38) àSy-^pCiàx — d;?^.r==d«;
prenons ensuite, par le même procédé, la variation de
àjr = /?dj;, nous aurons
^ày=.pBAx -f- do:^/?;
et en transposant les signes d et d,
(39) à^yz::: pd$x -\- dxèp.
Au moyen de cette valeur de d(îy, nous convertirons l'équation (38) en
remplaçant dp par qdx^ cette équation deviendra
dx($p'^-^q$jc):=z dw,
et, par conséquent, 0
ce qui est la valeur comprise entre les parenthèses dans la seconde ligne de l'équation (36). On trouvera de même
da:(Sq — rJjr) = d.T— ? da:(Sr — sdx] = dl—d.— U etc.;
par ces valeurs, l'équation (36) deviendra
dx^V— dV^:c=N«d^H-Pd«^-Qd.~?4-Rd(-r^;dV^V
dx \dx . dxj
Par conséquent, l'intégrale que renferme Je second membre
454 CÂLCVL DBS VARIATIONS.
de l'équation (33) sera
^/^•^dï-^dï)'^^"
intégrant par pairies tous les tenues qui , dans ce second membre, contiennent des différentielles de o), du i"^ du 2% et du 3* ordre, etc., nous aurons
/'Pdcii=Pw — I -; — ci>d:r, •^ J dx '
/'rx j d« ^ dû) /'dw .
et , parce que la différentielle de Q se prend par rapport à or, on pourra écrire ainsi cette dernière équation,
^^,dû> ^do) r«iQj
intégrant de nouveau par parties le dernier terme de cette équation , elle nous donnera
^ , dw ^dw do r A ^Q
En opérant de même pour le terme en R , on trouvera rn d /— d —\ — -R JL H ^" — ^ ^^ J-l\ ^^
\àx Wx) àx dx àx àx ' Az\ 'dxj
-Hi-yé)
Substituant les valeurs de
/Pdw, de rOd.^î de TR.d ( -^ d. -^ ) j etc., •' -^ ^ ax ^ \àx àx )
dans Téquation (4t>), ordonnant par rapport à co et à ses roeflicients différentiels, et réunissant ensuite les terme*
qui sont aflectës du signe d^ intégration, nous trouverons
\ dx Qx ax I
dw ,' dR \ I , d« ,^
\ dj: dx "d.r Ax *dx diT /
Substituant cette valeur dans Téquation (33), à laquelle on ajoutera une constante , pour tenir lieu de toutes celles que Tintégration par parties exigera, on aura enfin
J/Vdar^V^x^-wfp-^-hTÎ^d.^ — ...^ *^ \ ax àx ax I
dw /^ dR \ I j dw, . ^
■^dï(Q-d^-^--)'^'^-^d^^-d^(^---^'^^^-
/. j /^T dP I , dQ I , I , dR i|: \
•^ \ ax ax ax ax ax ax /
Et en prenant àx pour variable indépendante, cette équation pourra se mettre sous la forme
dw /^ dR . \ d'w,„
-^dïiQ-di+- •j^d^'^''--'^'*'"
r . /^ dp d'Q d'R \
■+- constante.
602. Cette solution d'Euler suppose donc que la fonction U de or, de j^ et des différentielles des différents ordres de x et de j puisse se ramener à la forme \dx. Or cela n'est pas toujours possible^ car si, par exemple, on avait
// X ,x dV à Y à}x
ax ax ax
456 CALCUL DES yARlATIONS.
et que Ton fît
on trouverait par la difTérentiation ,
(43) d'^= d/?da: -h/jd'jr;
mettant ces valeurs dans réquation (4^)) ^^ obtiendrait
dp , d*j:
U = -p- d j: H- 2 p -r— j do: dx
ou plutôt
, djr Ay d* X
' dx dx dx '
et Ton voit que le second membre ne se réduit pas à la forme Vdj:.
Mais cela aurait lieu si, au contraire, on avait
TT — ^ — — — • <|tf dx dx dx '
car la valeur de d'j^, donnée par Téquation (43)? étant mise dstns celle-ci , la réduirait à
QX DES MAXIMA ET MIIIIMA DES FORMULES IRTl^GRALES IHDÉTERMIIIÉES
603. La principale application du calcul des variations se rapporte à la solution d'un genre de problèmes de maxima et de minima, qu^on tenterait en vain de résoudre par la méthode exposée art. 97 et 98. On a vu que celle méthode consistait à déduire de Téquationy =yi: du problème, la valeur de -p> qu'on devait égaler à zéro, ou à
l'infini, pour obtenir la relation entre x et j*, qui doit avoir lieu au maximum où au minimum ^ mais si, dans le problème proposé, on nous donnait seulement la formule intégrale f\àx^ dans laquelle V serait une fonction de jc.
HÀXIMA ET MIIÎIMA DES FORMULES INTÉGRALES. 4^7
de y^ de p^ de y, etc., et qu'on demandât quelle est , parmi toutes les courbes qui jouissent de la propriété commune /Vdar, celle pour laquelle y* Vdx est un maximum, un tel problème serait d'une nature bien différente que ceux que nous avons résolus sur les maxima ou minima. On se tromperait donc bien si l'on croyait que, pour en obtenir la solution , il suffirait de passer à la différentielle en ôtant le signe d'intégration , et en écrivant Vda:. Cela ne conduirait à rien , puisque la caractéristique J^ qui ici nous indique que c'est x que l'on fait varier, n'est plus le signe de l'opération contraire à celle qui se rapporte à des variations. Aussi voit-on qu'au lieu de passer d'une courbe à l'autre , on resterait sur la même courbe , ce que nous ne pouvons admettre, d'après ce que nous avons vu art. 577. Ce ne sera donc point Vda: que, d'après la méthode ordinaire des maxima et minima , on devra égaler à zéro , mais djyàx^ parce qu'alors, quoique nous ignorions la relation qui existe entre x et y renfermés dans V, nous ne considérons pas moins y comme une fonction de a: , et par conséquent f\àx comme une autre fonction de x, dont la variation est indiquée par le signe c?, variation due aux accroissements successifs que reçoit une constante qui*, le plus souvent, ne parait pas dans les calculs.
L'intégration de J'Y d a: ne pouvant donc s'exécuter sans qu'il ne soit établi une relation entre x et ^, nous allons voir que cette valeur va nous être fournie par la condition même du maximum. En effet, la variation de f\dx ayant été déterminée par l'équation (4i) 5 nommons pour plus de simplicité X la partie qui s'y trouve hors du signe d'intégration 5 la variation dfYdx étant nulle, dans le cas du maximum, nous aurons donc
(44) X -t-/wdj: (n — -5 h j~T ""• • ' ) "^ constante =r o.
\ Cl X Ci x I
458 CALCUL DBS VilRlATIOfiiS.
