La condition ffiàx = o nous donne
et comme la différentielle d'une fonction égale k tévo est nulle aussi bien que cette fonction (art. 63) , on peut ôter le signe d'intégration, ce qui nous donnera
fia\ /tit dP d'R \ -
équation à laquelle on satisfera en faisant
da: dx*
Cette équation établit la relation qui doit exister entre x et y pour la courbe du maximum et du minimum.
607. Observons que la propriété fYdx appartient à toutes les courbes que nous considérons, et que nous pouvons passer de l'une à l'autre par degrés imperceptibles , en faisant accroître V d'une quantité infiniment petite (î V. Dans cette hypothèse, V devenant V-f-JV, la formule fYdx se change en y*{V-4-<îV) do:, et s'accroît de la quantité ydVdo:, quantité qui , par la transposition (Jes signes /et â^ revient à âJYdx, On reconnaît dans cette exprès-* sion la variation dont nous avons déterminé la valeur par lequation (4i) (art. 601), et qui devant, comme fYdx, appartenir à toutes les courbes du genre que nous considérons, n'en spécifie aucune en particulier. En égalant en-^ suite à zéro la variation dfYàx^ nous déterminons cette couAe quiconque qui jouit de la propriété requise , à devenir, entre toutes les autres , celle qui convient au maximum ou au minimum^ nous franchissons en idée toutes
46o CALCUL DES VARIATIO»6«
les courbes intermédiaires comprises entre la courbe primitive et la courbe du maximum ou minimum, pour que l'une de ces courbes se change en l'autre , alors l'ordonnée PM , devenue PM', aura reçu un accroissement fini , composé de tous les accroissements successifs que la courbe aura reçus en passant par toutes ces positions intermédiaires; et, comme PM représente une ordonnée quelconque , la même chose aura lieu pour tous les points de la courbe variée, qui, par conséquent, sera entièrement distincte de la courbe primitive *, mais la variation ÔY indiquant la variation qui a lieu lorsqu'on passe de la courbe primitive à la courbe infiniment proche qui lui succède, cette variation , lorsque la courbe primitive deviendra la courbe variée , se rapportera alors à la courbe infinopient proche qui succédera à la courbe variée , et restera par conséquent une quantité infiniment petite.
608. Après avoir parlé du premier facteur de l'équation (46), occupons-nous du second. Pour cet effet, si nous mettons dans l'équation (46) la valeur de co, que nous donne l'équation (Sy) , page 453 , nous aurons
et l'on satisfera encore à cette équation en faisant
la relation que nous établissons ainsi entre djr et dx^ eat une chose conforme à ce que nous avons démontré (art. 598), que âx et cîy étaient dépendants l'un de l'autre. Une autre conséquence, qui s'accorde avec le même article, c'est que Téquation (47) subsiste encore lorsqu'on ne tient pas compte de âx] car alors l'équation (4S) se réduisant à
MAXIMi ET HINIMA DES FORMULES INTÉGRALES. 4^1
on en déduit également «
dp d^O
On peut remarquer que quand on a 5 a: = o , on tombe dans le cas où la variation de y se confond avec la direction de cette ordonnée , ce qui n'empêche pas que la condition du maximum ou minimum, entre toutes les courbes, ne subsiste également.
609. Lorsque les variations n'ont lieu que dans le sens des ordonnées, il est évident que celles des points extrêmes C et D sont des lignes droites CC et DD' [fig. 1 16) , dirigées suivant le prolongement de ces ordonnées.
610. Mais dans le cas où x varie aussi bien que jr^ les extrémités C et D (fig. 117) des ordonnées AC et BD décrivent des courbes CC et DD' ; fcar les points C et D se mouvant dans des directions qui ne sont plus celles de AC etdeBD, décrivent en général des courbes, sauf à supposer, si le cas l'exige, que ces courbes sont des lignes droitesCC, DD'(^^. 118).
6H. Nous avons vu (art. -404) que lorsque \dx était une difîerentielle exacte , l'équation
dP d^ * ^ djc d j:'
avait lieu par elle-même, et qu'alors la valeur de âfWdx, ou plutôt celle de /Vdx, ne pouvait renfermer que des quantité» intégrées. Or df\dx^ parla transposition des signes (art. 597), devenant /JVdor, si l'on regardej renfermé dans V comme une fonction dex, le produit Vdar ne sera autre chose qu'une fonction Y dex multipliée par dx; eifVdx représentera (art. 348 et 349) l'aire d'une
certaine courbe. La variation de cette aire étant exprimer
462 CALCtJL DES VAHIATIONS.
par âfVàx^ ne sera donc elle-même qu'on accroissement de l'aire dont nous parlons 5 par conséquent /^Vd a: sera
la somme de toutes ces aires élémentaires. Désignons cette intégrale par <fx+ c, et prenons-la entre les limites
X =2 0 et x=z. by nous aurons cette intégrale définie
et l'on voit qu^'elle ne dépendra pas des coordonnées des points intermédiaires de la courbe variée, mais de a et A , qui sont les abscisses des extrémités A et B {fig- 117) de cette courbe.
612. Réciproquement, lorsqu'on nous donne l'expression fYdx^ si l'on ac
la variation cîyV do: ne renfermera aucune formule intégrale; d'où il suit que ^V do: sera une fonction déterminée des expressions jc,j^, p, ^, etc., c'est-à-dire sera une fonction délivrée du signe d'intégration, ou, ce qui revient au même, sera une quantité immédiatement intégrablc.
613^ La partie de l'équation (45) (art. 604), qui n'est
point affectée du signe d'intégration , et que nous avons
représentée par
