MÀXIMA £T MINIMA DES FORMULES INTÉGRALES

sent lorsqu'on prend l'întëgrale définie. 11 ne restera donc de l'équation (45) que f^dx = o, pour déterminer la relation qui deVra exister entre x et j, afin que f\dx soit un maximum ou un minimum.

614, Le problème général qui nous occupe est donc en quelque sorte l'inverse de celui que nous offrent leAnaxima et minima ordinaires-, car, dans ceux-ci, la relation entre xei^ est donnée immédiatement, au lieu que dans notre cas, elle résulte de la condition même du maximum ou minimum.

615. Pour donner une application de cette théorie, proposons-nous de trouver quelle est la plus courte des courbes menées entre deux points sur un plan.

L'expression d'un arc de courbe étant ^

s/dx^-^âjr^ ou d^i/i-j-^^,

sera , dans le cas présent , celle que nous avons représentée par Vd:r ; nous aurons donc

dr*

et en remplaçant -^ par p, cette équation deviendra

Cl mT

Cette formule, qui ne contient que la variable /?, déter-

dV * ^

minera l'expression -r^ du coefficient différentiel P : nou»

aurons donc •

(4q) M=:o, N = o, P = rr-== ■ ^ > Q=z=a,....

Par ces valeurs , on voit que les termes où entrent V, P et

464 CALCUL DES VARIATIOHS.

-r-> doivent être seuls conservés dans la formule (41)5^111 par conséquent devient, dans notre cas,

^/Vdjc = V^a: + Pw-t-/«d^^— ^h

substituant ày — pâx k là place de w , on a

• dP

(5o) 5/Vdar=(V— F/?) 5a;4-P5jr — / (Sy-^p^x) j-J àx.

Le premier membre de cette équation étant nul par la condition du maximum ou minimum, et la partie qui est indépendante du signe d'intégration n'existant pas dans rhypothèse où les extrémités A et B sont des points fixes,

Péquation (5o) se réduit à

dP

— f(ey---fSx)~da: = o;

cette intégrale étant égale à zéro , il en est de même de sa différentielle (art. 6116) ; on a donc

dp

{^X — P^^)-j-' àx = o.