MAXIMA ET MINIMA DES FORMULES INTÉGRALES
réduisant au même dénominateur et faisant la réduction , on trouvera
par conséquent, on aura
dp I dp
dx (^i^p^J^j^p2 dœ
Egahint cette quantité à zéro, et supprimant le premier facteur, il reste
ou plutôt
intégrant , on obtient
p = constante ;
et en désignant cette nouvelle constante par 5 , on a
et, par conséquent,
dy
-=— =:è, ou dj=r^da:;
intégrant de nouveau , on trouve
(Sa) y z=ihx-^ c,
617. Pour déterminer les constantes t et c, les points extrêmes A et B {jig* 119) étant fixes , si leurs coordonnées sont
X = a , J^ == 6 et .r = a', 7=6',
ces coordonnées devant satisfaire à l'équation (5;2) on a d'où Ton déduit
par conséquent , l'équation (Sa) devient
618. Si les extrémités A et B de la courbe ne sont pas des points fixes , la partie (V — Vp) dx -h Pcîj^j de l'équation (5o) 5 qui est représentée par X dans l'équation (45) , page 4^8 , ne s'évanouit plus à cause de la non-existence des variations ây et dx'^ mais comme le premier membre de l'équation ( 45 ) est égal à zéro , la partie f[i àx ne peut, comme nous l'avons vu art. 604, anéantir X ; il faut donc, pour que la condition "k-h f lJ-àx:==: o soit remplie , que l soit nul séparément, et qu'on ait par conséquent Féquation
(V— P/?)^^-hP«î^ = o.
Remplaçant V et P par leurs valeurs ^i-{-p' et — ^
cette équation devient
et après qu'on l'aura réduite au même dénominateur, le diviseur commun y/i-f-p* étant supprimé, il restera
Mettant la valeur de p^ celte équation donnera (53) . 1^^ = -.,
ox ax
et ne pourra être satisfaite que par les coordonnées des points extrêmes de la courbe , coordonnées qui varient avec ces points.. Supposons donc que l'un de ces points soit variable et que l'autre soit fixe \ si nous nommons x^ et j' les coordonnées du premier, et x!\ y" les coordonnées du second, l'équation (53) sera satisfaite en faisant
X "=: x' et j = y\
MÀXIMA ET MlNlMÀ DES FOllMULÉS INTÉGRALES. 4^7
et se changera en
Telle sera la condition qui exprime que la courbe que décrit le point mobile a:', y\ soit coupée à angle droit par la courbe cherchée (*).
Cette condition et celle de la fixité de Tautre point, donné par les coordonnées a/' et y\ suffiront pour déterminer les deux constantes de T équation (52).
619. Mais si les deux points extrêmes ne sont fixes ni l'un ni l'autre, l'équation (53) devant être satisfaite par leurs coordonnées , on aura ainsi
équations qui nous apprennent que les courbes GK et IL (Jig' i2o), décrites par les points extrêmes, doivent être normales à la courbe cherchée , qui , dans le cas présent , se réduit à une ligne droite ÂB (art. 616). La relation qui exiàte entre les coordonnées de cette courbe cherchée nous étant fournie par l'équation
dP
N— -rr--f-. . . =o, dx
cette équation devient dans notre cas
dP=o,
et nous ramène à l'équation (5i). Or nous avons vu
( * ) En effet, t— j et —-7 es^primant les tangentes trigonométriques (art. 75)
que la courbe proposée et la courbe variée forment à leurs points de contact, la condition nécessaire pour que ces tangentes se coupent à angles droits sera exprimée {Th'éorie des Courbes , art. io3) par
Sx' dx'
(art. 616) que cette équation nous conduisait à dp = o, eft que l'intégrale de cette dernière était p = i 5 remplaçant p
par sa valeur j- ' on ^
d'où l'on déduit
Au moyen de ces valeurs, les équations (54) deviennent
^^^^ Sx^'^^b' $x''^ b'
etne contiennent plus que les variations des points extrêmes 5 or il sera possible d'éliminer ces variations, si l'on nous donne les courbes que ces points seront assujettis à parcourir. Supposons que ces courbes aient pour équations différentielles
d7 = ç(a:, jr)da: et dy =^ (xyjr)dx\
on en déduira (art. 591 ) -
Ces équations devant être satisfaites l'une par les coordonnées x', y\ et l'autre par les coot-données x^^y"y nous aurons donc
dy=t=^{x\y)8x\ ^y'=: + {x, r)^^^
Au moyen de ces équations nous pourrons éliminer les variations des équations (55 ) , ce qui nous donnera
620. Si , outre x etjr fonctions de a: ,-et leurs coefficients différentiels successifs, la fonction V contenait encore une ou plusieurs autres variables z, t, ïi , p', etc., et leurs coef-
