Avant que d'aller plus loin, nous remarquerons
d r que dans le calcul dilïcrenliel une expression telle que -i-^
signifie qu'une fonction y d'une ou de plusieurs variables a été dilférentiée par rapport à la variable x et divisée par d X ; par exemple , si l'on avai t j- = ax* a' z**^ Tcxpres-
. d y sion -7- se déterminerait en regardant « et ^ comme con-
Cl X
stants, et en différentiant par rapport à a: et divisant ensnite
dr par do: : ainsi on aurait -~ = laxu^ z'* . On trouverait de
U •Ml
même -^ = Aax^z^ u^ et -7^ = 3 ax^ z* m". Si l'on avait > dz du
• » dr
y = j:"-f-2', -r^ serait 2X.
55. Si dans une fonction y de x, la vanable x se change e/i X -I- h, on a le même coefficient différentiel lorsque x est variable et h constant, que lorsque h est variable et x constant.
Pour le démontrer, si dans l'équation yz=fx^ nous mettons ac 4- A = j/ à la place de a:, nous aurons^' — /i/; la ditiérentîelle de fod sera égale à une autre fonction de x! représentée par (fo/ et multipliée par da/, par conséquent à.j'=. ^ix'àod^ ou en mettant pour x' sa valeur x -j- A, on aura
THÉORÈME DB TÀYLOR. 35
Or, le seul changement qu'apporte dans cette différentielle l'hypothèse de x variable et de h constant, n'est que dans le facteur d (a: -f- A), qui se réduit h dx quand x est variable, et h constant*, on a donc alors
dy = (p ( j: -f- A) dx, d'où l'on tire
Si, au contraire, on fait x constant et h variable, le facteur d (a: -+- A) se réduit à d A, et l'on a
dy = (f(x-^h)dh,
€t 5 par conséquent,
égalant ces deux valeurs de (f (jc-f- A), il nous vient
à.T dh
Par exemple, si Ton avait j^ = û.r*, .en mettant x -\- h àla place de a:, on trouverait
dy dr'
d^' dh
S6. Les équations (35) et (36) étant différentiées par rapport ax -\- h^ donnent encore les résultats égaux
^ =cf'{a:-i-h]d{œ^h),
-^ = (p' (a; -+- A) cl (.r -h A).
Faisons h constant dans la première équation , et x con-
stant dan» la seconde, nous aurons
d'où nous tirerons
d'/__dV
d* y' d'r' On conclura par le même raisonnement que -r^ ^= -rr- et
dV' dV (lue -r^ = -m» et ainsi de suite.
37. Cela posé, soit j^ une fonction de x •+■ h'^ cette fonction étant développée par rapport aux puissances de A, supposons qu'on ait
(37) /=jr + A/iH-B^' 4-CA1-+-. .. ;
A, B, C, etc., étant des fonctions inconnues de x qu'il s'agit de déterminer. Pour cet effet, en dîfférentiant par rapport à A, et en divisant par d/i, on aura
-4- =A-f-2B//-4-3CA»-f-...;
différentiant ensuite par rapport à x et divisant par dxy nous aurons
dr' dr dA , dB ^.
d.r d.T ax ax
Les premiers membres de ces équations étant égaux ^ en vertu de l'art. S5, les seconds membres seront identiques ; égalant donc entre eux les coefficients des mêmes puissances de /i , on trouvera
û X nûx 5ÛX 4"-^
. Substituant la valeur de A , donnée par la première de ces
équations, dans la seconde, on aura B = -r^\ sub-
* 1.9. ax*
THÉORÈME DB TAYLOR. Sj
stituaiit cette valeur dans celle de C, on aura
i.2.3dx*' ainsi de suite.
Au moyen de ces valeurs de A, de B, de C, etc., Téqualîon (37) deviendra
dr , d'y //' d^ r A»
dx dx'1.2 dxM.2.3
ou, en mettant pourj^ sa valeur,
/oQ^ /•/ i^ djr d'j A» d^J A'
38 / x4-/0 = r -Ht"/'-+-t-; »--ri 5-+- ••^
^ - d X d xM . 2 d x-» 1 . 2 . 3
ce qui est la formule de Taylor.
