En général, le-s points où la courbe éprouve des

DES POINTS D INFLEXIOlf. 89

changements s'appellent des points singuliers ; on sent que si Ton a les moyens de reconnaître les endroits où ces points existent, il sera facile de suivre la courbe dans son cours. Par exemple, si Ton savait que la courbe [fig- 29) a des points d'inflexion en E et en H, et des points de rebroussement en F et en G, on pourrait prendre une idée de cette courbe par l'analyse suivante :

En partant du point A, qui est une limite dans le sens des abscisses, la i:;ourbe tourne d'abord sa concavité vers Taxe des abscisses jusqu'en E , où il existe un point d'inflexion qui, de concave, le fait devenir convexe. A Texirémité de la partie convexe EF^ elle suspend son cours au point de rebroussement F, au delà duquel elle est encore convexe dans la partie FH, pour redevenir concave au delà du point d^inflexion H et arriver ainsi jusqu'au point C, qui est une limite dans le sens des ordonnées ; en^n de C en G et de A en G, la courbe est composée de deux arcs CBG, ADG, qui, tournant leurs concavités à l'axe des abscisses, se réunissent en un point de rebroussement, et passent par les deux limites B et D, l'une dans le sens des abscisses et l'autre dans celui des ordonnées.

122. D'après ce qui précède, on sent combien il serait avantageux de pouvoir, à l'aide de l'équation d'une courbe, déterminer les coordonnées des points singuliers. Nous avons déjà fait connaître les moyens de trouver les maxima et les minima, il nous reste à nous occuper de la recherche des autres points singuliers : c'est ce qui va faire le sujet des paragraphes suivants.

DES POINTS D'IHFLBXIOH.

123. Nous venons de voir qu'un point d'inflexion est celui dans lequel la courbe, de convexe devient concave, ou do concave devient convexe. La courbe M' MM'' (fig* 3o)

90 CALCUL DIFFf&REVZIEL.

nous offre en M un point de ce genre. Menons en ce point une tangente TT'; si nous considérons les diverses ordonnées comprises entre M' P et MP, nous verrons que le prolon* gement M'JN' de Tordounée jusqu'à la courbe, ira en diminuant, et s'anéantira au point M ; si nous considérons les ordonnées suivantes , le prolongement M'' N'' de l'ordonnée tombera au-dessous de la tangente, et par conséquent cbangéra de signe, de sorte que si M' N' était positif^ Mf'W^ sera négatif. Telle est la condition que nous allons exprimer par une équation.

Soient donc (fig» 3o) PP'= A = PP'; on a évidemment

M' N' = M' P' — N' P', ou

Pour déterminer la valeur analytique de N' F, nous avons

N'P' = MP4-N'0, ou

(72) N'P'=r-hN'0.

A l'égard de celle de N' O , le triangle rectangle N' MO

nous donne

N' 0 = MO tang N' MO ;

or on a vu (art. 73) que l'angle K'MO, formé par la tangente en M, avec une parallèle à l'axe des x^ avait -p pour tangente trigonométrique 5 par conséquent , remplaçant tang N' MO par -r— 1 et mettant h à la place de MO, nous aurons

Substituant cette valeur dans l'équation (7:2), et mettaul ensuite celle de WP daVis Foquation (71), nous obtien-

DES POIirrS D INFLEICiON. 9I

drons

Sans avoir besoin de calculer de nouveau la valeur de M^'N'', on peut la déduire de celle de Rf N'-, en effet, si nous faisons reculer Tordonnée parallèlement à elle-même, M'N' deviendra M!^lS"y lorsque h se changera en — h: donnant donc à h cette valeur dans Téquation (73), nous obtiendrons

Maitatenant, remplaçons les expreâsiôas y(x + A) et J'{x — h) par leurs développements, nous aurons

\ dx d:r' i .2 djr* 2.3

et en réduisant, ces équations deviendront

^' ^ d;t» 1.2 dx' 2.3

^' ^ dar« !.2 djc^ 2.3

Cela posé, pour qu il y ait inflexion en M, il faut nécessairement que , lorsqu'on donnera à h une valeur très-petite, les lignes M'N' et M''N" tombent Tune au-dessus, et Tautre au-dessous de la droite TT', ce qui exige que M'N' et M"N" soient de signes contraires •, or cela n'est possible

d' r h^ que lorsque le premier terme -^—j » des séries (75)

et (76), est nul. En efTet, si ce terme n*élait pas nul, on pourrait donner à h une valeur assez paitc pour que le

terme -p^ surpassât la somme algébrique de tous les

autres termes de la série. Dans ce cas , le signe de ce terme serait celui du résultat de toute la suite \ et comme ce terme est le même dans les deux séries, il en résulterait que M'N' et W!W (fig* 3o) auraient nécessairement le même signe; par conséquent, pour que M'N' et M'^N''' puissent être de signes contraires , il faut que l'on ait

^,A'=o, ou plutôt j^, = o.