Si la valeur de x^ qui est la même dans les dévelop

d'y pements (76) et (76) était telle, que 1—^ fût infini, ces deux dé-

veloppements le seraient aussi \ et alors on ne pourrait rien

conclure de la démonstration précédente, qui repose sur la

possibilité de ces développements. Dans ce cas , il faut re-

d* r marquer que la condition t-=^ = o nous indique, en général,

d'r que j— doit changer de signe au point d^infles^on , ce qui

s'accorde avec l'art. 115^ mais -r-~ peut aussi cbangi^r de

\iX -V*

signe en passant par Tinfini. Pour en donner un exemple.

DES POINTS d'inflexioit. gi

soit

Si l'on substitue successivement à a: lee valeurs

X ^= a — A , on trouvera

djT»" h'

djr'

" = "-^^' dr>=-*-T'

d'v et l'on voit que c'est le dénominateur de la valeur de ~^^

Cl vC

qui fait changer de signe au coefficient différentiel après le point d'inflexion.

126. Il résulte de ce qui précède, que pour qu'il puisse y avoir un point d'inflexion dans une courbe, il faut qu'on ait , poui' l'abscisse de ce point ,

Lorsqu'on se sera assqré que l'une de ces conditions est

remplie, on augmentera et on diminuera successivement

d'une quantité h très-petite, l'abscisse du point qui rem-

d'r plit la condition prescrite; et si 7-^» pour ces nouvelles

valeurs de x, est affecté de signes contraires , il faudra en

d'r conclure qu'il y a un point d'inflexion 5 car, lorsque y^ est

positif, la courbe tourne sa convexité vers l'axe des abscisses,

d'r tandis que lorsque -r-^^ est négatif, la courbe tourne sa con-

cavité vers le même axe : or c'est par ce changement de convexe en concave, ou de concave en convexe, que la courbe manifeste son point d'inflexion.

94 GAIXYJX DSPFtllKtfTIEL.

127, Pour donner une application de celte théorie, cherchons s'il y a un point d'inflexion ndans la courbe qui a pour équation

(77) J=^-+-2(jF'-fl)*.

La diftërentiation nous donne

Pour qu'il puisse y avoir un point d'inflexion , il faut donc qu'il existe une valeur de x, qui «rende nul le terme

j^; or, X étant une quantité variable, déterminons Tune

de ces valeurs par la condition qu'on ait la (x — a) = o, et nous obtiendrons x = a pour l'abscisse qui pept appartenir à un point d'inflexion. Pour nous assurer de l'existence de ce point, diminuons Tabscisse a d'une petite quantité /i, et substituons a — h à x, nous trouverons que, pour le point M' [fig* 3i), dont l'abscisse est a — %, on a

ci' y

-=-^ = — 1 2 A ; substituons eneuite a -4- /i à j:, et nous trou-

verons que le point M'', dqnt l'abscisse est a -h A, corres-

d'r pond à -~^ = I a /i. Ces deux valeurs de dîllereirts ^îgnies de

-i-^ nous montrent qu'il y a un point d'inflexion en M.

. d y Uhypothèse de or = a fait évanouir -r^ par conséquent

la tangente au point d'inflexion est parallèle à l'axe des x.