U est à remarquer qu'on n'a pas toujours 1^ fapulté

d'égaler ainsi à zéro J» valeur de j^'^ si l'on .voulait, par

exemple, chercher s'il existe des points d'inflexion d^ns la courbe qui a pour équation

DES POIHTS D^lDFLEXIOIf. pS

on trouverait, par la différentiaiion ,

dx dx'

d' r Or on voit qu'on ne peut égaler à zéro la valeur de -r-^

qui ne renferme aucune indéterminée, et que par conséquent

la courbe n'a pas de point d'inflexion , résultat auquel on

devait s'attendre, puisqu'elle est une parabole. La valeur de

j^j nous montre seuleinent que cette parabole tourne con-

tinuellement sa convexité vers l'axe des abscisses. 129. Pour troisième application, prenons l'équation

eu la résolvant par rapport à y^ et en différentianl ensuite, on obtient

Si l'on cherchait àdélerminera: par l'équation |.|y^ = o,

ou plutôt j-=: = o, on ne pourrait satisfaire à cette équatii^n

qu'en faisant x:=oo, ce qui ne conduirait à rien; mais comme nous avons la faculté d'éealer aussi la valeur de -~-

à l'infini, nous satisferons à l'équation 3-= = oo , en faisant

jc = o. Cette valeur de x nous apprend qu'il peut y avoir

un point d'inEexion à l'origine; et, pour nous assurer de

l'existence de ce point, nous substituerons successivement

à X les valeurs a: = ^-f-A etx=o — /i, c'est-à-dire h

d^r et — A, et nous verrons si , dans ces deux cas, -r^. amène

dar*

des résultats de signes contraires. Mais, au lieu de faire ces

opérations Tune après Tautre» nous pourrons les exécuter à la fois , en substituant à x la valeur db A, et alors le coefficient différentiel du second ordre deviendra

La valeur supérieure se rapporte à une abscisse plus grande que celle du point d'inflexion, et la valeur inférieure se rapporte à une abscisse moindre. Comme ces deux valeurs sont de signes contraires, nous pouvons en conclure qpie x = o correspond à un point d'inflexion A {fig» Sa). \

i 30. Pour dernière application, prenon s la courbe ( fig. 33) qui a pour équation

Cette équation nous donne

en faisant j: = o , on a -p-^ = 00 , ce qui est un indice qu'il

peut se rencontrer un point d'inflexion à l'origine. Pour

savoir si ce point existe, faisons d'abord a: = A, et substi-

d*r tuons cette valeur dans celle de -r-^j qui devient

Cl •XJ

d*r Si Ton fait ensuite x = — A, la valeur de 1—, devient

ciiar

imaginaire, ainsi que la valeur de j", ce qui nous apprend

que la courbe n'existe pas pour des abscisses négatives;

d'y ainsi, quoique j~ soit infini à l'origine, il n'y a pas de

vl iX

point d'inflexion. Bientôt il nous sera facile de reconuaître que ce coefficient différentiel appartient à une classe de