RAYON DE COURBURE DES COURBES POLAIRES
Au moyen de cette équation on trouve, pour le numérateur de la valeur de 7,
élevant chaque terme de la fraction qui forme le second membre de cette équation y à la puissance f , et observant que la puissance f de /î' est n^, on a
différentiant ensuite l'équation (126), nous trouverons
â^jr ndm — mdn
divisant le premier membre de cette équation par d^ et le second par n, qui équivaut à dxy nous aurons
/ ^ , d' r ndm — mdn
Au moyen des valeurs données par les équations (127 ) et (128)^ réquation ( 1 24 ) devient
•^ ndm — mdn
Il ne s'agit plus que de transformer celte équation en une fonction de e et de u. Pour cet effet , on déterminera d'abord la valeur de /l'-h /w% en ajoutant les carrés des équations (126) ; et en réduisant à mesure, au moyen de l'équation sin' ^ -h cos' ^ = i, on
(i3o) /!'-+- in' = du^-h u^dtK
A regard du dénominateur de l'équation ( 1 29 ) , nous diiférentieroDS successivement les équations (126) en traitant dt comme constant ; et multipliant respectivement les résultats par n et par m , nous trouverons
n dm = n d* u sïm -h 2 /i d « costdt — nu sin edt^j mda :=md^u cost — 2iifdusin tdt — mttcosrdf,
l4o CALGDL DIFFÉREATIEL.
la seconde équation étant retranchée de la première , nous trouverons
In dm — mdn = â^u(n sint — m cost) -h 2dttdr(/i cosr-l- m sint) — udt^{nsmt — m cost) ;
multipliant la seconde des équations (i25) par sin t et la première par cos^y les retranchant Tune de l'autre, et réduisant au moyen de la relation sin*^ -h cos'^ = i, nous obtiendrons
n sin f — m cost = — udt.
Opérant d'jine manière analogue pour former la valeur de n cos^t •+• msintf nous trouverons
n cost -j^ m sint = du.
Substituant ces valeurs dans Téquation (i3i), cette équation deviendra
(i32) ndm — iwd/i = — ad'adf -h ndu^^t -^ u^ di^.
Au moyen des valeurs que nous venons de déterminer, les équations (i3o) et (i 3») changeront l'équation (129) en
f,33x (da^^iAMQ^
^ ' ' 2du^dt — ud^/idt-h u^dt^
DES COURBES TRANSCENDAHTES.
189. On appelle ainsi les courbes qui contiennent des quantités transcendantes ou des coefficients différentiels, et , en général , les courbes dont on ne peut exprimer les équations par un nombre fini de termes algébriques. Nous ferons connaître quelques-unes des plus remarquables de ces courbes.
DE LA SPIRALE D'ARCHIMÈDE OC DE COBIOll.
190. Voici la génération de cette courbe : tandis^*que le rayon AB (^g. 67) décrit une révolution, un point A se transporte du centre A à Textrémilé B de ce rayon, et se
DE LA SPIRALE LOGARITHMIQUE. ' l4l
meut d'un mouvement uniforme, de telle manière que le point mobile qui était en A au commencement de la rotation de AB se trouve en B lorsque AB a décrit une révolution entière autour du centre A. Le point mobile décrit dans ce mouvement la spirale d'Archimède.
Soient AB = a5 arc BN = ^, AM=m; on a donc, d'après la définition précédente,
AM : AN :: arcNB: BCDB,
ou
d'où l'on tire
u \ a :: t \ zira.
Cette courbe, comme on le voit, n'a pas ses coordonnées rectangulaires. Lorsque AB a décrit une révolution entière. Tare NB équivaut à la circonférence; donc alors t = 2 7ra, ce qui change Téquation précédente en
u-=. 5 ou uzzza»
Si le point A continue à se mouvoir toujours uniformément, le rayon AB décrira une seconde révolution autour du centre A; et si Ton prend BB'= BA, le point mobile arrivera en B' au bout de cette seconde révolution \ alors t sera égal k ^tza^ ce qui donnera u == 2a; ainsi de suite.
