Pour déteiminer la sou3 -normale , nous observe

SOUS'TANGElfTES, ETC., ADX COURBES POLAIRES. iSj

rons que la normale SM étant perpendiculaire à la tan* génie, Tordonnée AM [fig, 55) doit être moyenne proportionnelle entre la sous-tangente et la sous-normale; par conséquent nous avons

AT : A M :: AM ; sous-normale , u^àt

donc

, :«::«: sous-normale :

sous- normale = -=— *

A regard de la normale et de la tangente, les triangles recungles MAS, MAT donnent

MS 2= )JUA? -h ASS Mï = v^MA»-hAT».

Substituant dans ces équations les valeurs de MA, de AS et de AT, nous trouverons

/\ da» / dr»

normale = i / «' -f- -7-^ j tangente =: a 4 / i -f- a» -— j.

187. Pour trouver Fexpression analytique du secteur dans les courbes polaires, le triangle AM^M (fig* 56) nous donne

atre AM' M = :

dans le cas de la limite. Taire du triangle AM'M [fig» 56) devient celle d'un secteur élémentaire, la perpendiculaire PM peut être remplacée par l'arc MN, que nous avons trouvé égal à i/dt, et AM'se réduit à u. Substituant ces valeurs dans Téquation précédente, nous trouverons

u'àt aire du secteur élémentaire = •

On peut aussi exprimer le secteur élémentaire en fonction

des coordonnées rectangulaires ; car en mettant dans cette équation les valeurs de u et de d / , données par les équations (119) et (122), elle devient

aire du secteur élémentaire =

De la détermination de V expression du rayon de courbure

dans une courbe polaire.

188. Nous avons donné (art. Itfl) Texpression du rayon de courbure, rapportée à des coordonnées rectangulaires; en nous réservant la faculté d'affecter celte expression du signe qui rendra 7 positif, nous récrirons ainsi :

d'jr

Pour avoir cette valeur de 7 exprimée en fonction des coordonnées polaires, il ne s'agit que d'éliminer les coefficients différentiels qui entrent dans cette expression , au moyen des équations suivantes :

j? = « cos ^ , j^ = K sin f ;

différentions ces équations , et divisons ensuite les résultats Pun par l'autre , nous obtiendrons

ày d « sin r-+- « cos/d^

dx dacos^ — «sinrd/ '

représentons par m et par n les deux termes de cette fraction, nous

aurons

, ^, / 771 = du sin^ + <« cos^d/,

j /2 = d uço^t — ttsinrdf, et , par conséquent ,

GiX n