I : langAMT :: AM : AT; donc

tang AIVIT =

Remplaçant le rayon vecteur A M par u , et AT par Fexpression -j — que nous avons trouvée (art. 185) pour la soustangente d'une courbe polaire, nous aurons

udt tang AMT, ou a= — — ;

d'où nous tirerons

, «r V adu .

(•34) "ir^'^'î

et en intégrant, nous trouverons

a log a =r / -4- constante.

Soit e la base du système népérien ; si l'on regarde a comme le logarithme de e, dans un certain système de Tables, on pourra remplacer a par Le, et alors Le log u représentera le logarithme de u dans ce système (*)\ de sorte que nous aurons

La = f H- constante.

492. On peut construire la spirale logarithmique par points de la manière suivante : Ayant partagé la circonférence OO'Cy' (fig* 59) en parties égales, on mènera des rayons aux points de division, et sur ces rayons on prendra les parties A/w, A w', A m'', hml".^ etc., qui soient en progression géométrique 5 les points m, m', m" ^wl'\my ^ etc.,

( * ) Pour le démontrer, sort e la base du système népérien ; nous aurons u = e'<>g'u; prenant les logarithmes dans le système des Tables indiqué par L,

nous aurons

Lu = h{elo^-ii) =: log M Le.

DE LA SPIRALB LOGARITHMIQUE. l43

appartiendront à une spirale logarithmique. En efiet, en supposant que les parties mm'^ nilm!'^ wl'ni"^ etc., aient très-peu d'étendue, on pourra les regarder comme des lignes droites, et alors il sera facile de prouver que les triangles A/71W, KwlrrJ'^ Kin"îTJ"^ etc., sont semblables; en effet, les angles en A sont égaux par construction, et les angles m m' A, nîml'K^ m"rn!"K^ etc., le sont par la propriété principale de la courbe^ nous avons donc cette suite de proportions :

km : km' :: km' : a/w'',

km' \km" :: km" : km'".

ce qui nous montre que les ordonnées A m, A m', A m'', A!" m^ etc., sont en progression géométrique.

195. Dans la spirale logarithmique, la normale est égale au rayon de courbure. En effet, l'expression de ce rayon , dans une courbe polaire, étant (art. 188)

^ "~ làu^àt — uà^àt 4- w'd^'

il faudra, dans cette formule, mettre les valeurs de di£ et de à'^u tirées de Téquation de la spirale logarithmique ; or IV cru: t in ( 1 34)

nous donne

uàt , au . uàt^

d tt = 5 d^ « = — d r' = ;

substituant ces valeurs dans celles de 7, nous obtiendrons

D'une autre part, si dans l'expression de la normale, qui est (art. 186)

dw'

l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

du?

nous substituons )a valeur de -r—^^ nous trouverons de même

df'

ce qui prouve que la normale est égale , dans cette

courbe^ à son rayon de courbure ; et comme d'ailleurs il est dirigé suivant cette normale (art. 187) , il en résulte que ces lignes •se confondent.

194 Cette propriété va nous servir à démontrer que la développée de la spirale logarithmique est une autre spirale logarithmique. Pour cet effet, le point N de la normale étant considéré comme appartenant au rayon de courbure, et se trouvant à son extrémité, est sur la développée. Soient ^ et m' les coordonnées de ce point N (J^g- 60 ) , il sera facile de les détermiper en fonction des coordonnées r et m du point M de la courbe ; car soit 00' un arc de cercle décrit avec un rayon égal à l'unité : les abscisses des points M et N différeront entre elles de cet arc, qui, à cause que l'angle MAN est droit, sera égal au quart de la circonférence ;

si, en adoptant la notation usitée, nous représentons par — le quart

de la circonférence décrite avec Tunité pour rayon , nous aurons t'=: r H — 9 équation qui, étant diflférentiée, nous donnera d r = d r^. D^une autre part, l'ordonnée polaire u' du point N de la déve^ loppée étant égale à la sous -normale -r— de la spirale logarithmique, nous changerons ~r- en u\ dans Téquation de cette courbe,

et nous trouverons u = au\ et par conséquent du = adii\ Substituant ces valeurs de d r, de d u et de u dans l'équation ( 1 34) de la spirale logarithmique, nous trouverons

équation qui, étant de même forme que la précédente, nous apprend que la spirale logarithmique a pour développée une autre spirale logarithmique.