On doit construire une palissade rectangulaire limitant

2 une certaine surface. Sachant que l’on peut utiliser un mur en

À Fig. ER pierres déjà construit pour l’un des côtés, on demande de trou-

| 7 ver les dimensions pour (OUEUS le coût de la construction serait minimum. -

#4 Rép. Côté parallèle au mur — deux fois la longueur Le MALE extrémité.

Fi QE

5. Une vache est attachée par une corde parfaitement lisse à un gros pilier carré au moyen d ’un nœud coulant (fig. 58). Si la vache tire sur la corde dans la direction indiquée par la figure, quel sera l'angle formé par la corde avec le pilier? Rép. 30°.

égaux à D ; Ma, Æ À n 3 )

dule sur la verticale peut être donnée par la formule | 0— ae cos (nt +e).

Montrer que les FORREURES maxima se produisent à à des intervalles * temps” 1

pes

57. On veut mesurer une certaine ue inconnue æ avec précision. Sup- | posons qu’on fasse avec un soin égal n observations de la fine ayant donné les résultats ci-après

ALES Cats rot Ur

Les erreurs de ces observations sont évidemment | FER # ’ € ne à 1, DE do, TL TS 3, FORCE EUR, L mr 1: An;

certaines étant positives et d’autres négatives. On convient que la valeur de x la plus probable est telle qu *elle rend minimum. la somme des carrés des erreurs, c’est-à-dire |

Ga) + (ra) + — a} +: + Ge — an).

Montrer que cette relation donne la moyenne arithmétique des observations. comme la valeur de x là plus probable. ù A

58. Le moment fléchissant en un point B, d’une Mine de En 4, unifor- | mément chargée (fig. 59), est donné par la formule 4

M ut — ue “ee 4 |

dans ei w — la charge par unité de longueur.

Montrer que le moment ÉCRIS maximum est au.

centre de la poutre. me

Fig. 59.

59. Si la perte lotale par kilomètre dans un conducteur électrique este 212 2 s x Ke T AE

W—= c?r ss

où c est le courant en ampères, r la résistance en ohms par kilomètre, et t une” constante dépendant du revêtement et de la dépréciation des matériaux, quelle . est la relation qui existe entre CT. exe quand la perte est minimum ? Si

ie RAS - Rép. =

60. Le câble d’un télégraphe sous-marin se compose d’un faisceau de fils de cuivre recouvert d’une matière non conductrice. Si x désigne le rapport du rayon. du faisceau à l'épaisseur du rev étement, on sait Pre la vitesse de: transmission s des signaux varie comme |

æ? log .

À | se ONE Re lee Montrer que la vitesse maximum ser atteinte quan T= —— xs e

64. En supposant que la puissance fournie PR une re Pile de Volta soit donné par la formule S (r RS “& # RS

MO © “MAXIMA-ET MINMA | 137 ” da anale É = — une force traite constante, r — une résistance interne 1 tante, R — la résistance externe, montrer que P est maximum quand r =R. à

62. La force exercée par un courant électrique cireulaire de rayon à sur un à etil aimant dont ee coïncide avec celui du cercle varie comme l LAS

CD a

g ment pour onsté a et b. L'intensité oe de chaleur ? à une distance x de A est donnée par la formule

est. Le vitesse: initiale, g l'accélération due à santeur, 9 use de projection avec Re

: 100 | ; y 25, | ge g 8

LES pins devrait- il être projeté pour que la durée de Le qu nr ES x 4 & à; ép o —=. YU? è

138 GALCUL DIFFÉRENTIEL

En négligeant les frottements, ete., quelle doit être la valeur de o pour que la rapidité de la descente soil maximum? Rép. p=— 45, 67. Examiner la fonction CG — 1x + D en ce qui concerne 1 ses valeurs maxima ét minima. &:

Employer la PAG ÈT méthode, 1p::429: Cat

Fig. 62. Solution.

fe) = (œ— x + AY.

17e opération.

f'Ce) = 2x —A)(x + AP + 3(x — 1) (x +1) = (x —1)(x + 1)(P5r — 1).

2e opération. ; (x — 1) +1) GO 1)=0. 2 À + 1 æ—1Â, —1, }, qui sont les valeurs critiques. “4 3 opération. fe) = 8(œ —1)(x + 1)(x — 2) 1

4° opération. Examinons d’abord la fonction Eonr la valeur critique = (C dans la figure 63).

Quand 2 <A, LG

Quand TA, fr) =5S( IR) = + T4

Par conséquent, quand æ—1, la fonction passe par une valeur minimum f4) — 0 (ordonnée de C). | # :

Examinons maintenant la fonction pour la ut critique & =? (B dr ns figure 63). 2402

Quand c<h fa) =) # Ce 240

Quad 2xp. Des)

Par conséquent, quand + —*, la fonction passe par une valeur maximum 4 4 fG }=1, 11 (ordonnée de B).

Examinons enfin la fonction pour la valeur critique T—— 8 (A dans la four 63).

ë Quand 2e, ONE 1 | Quand 2>—1, PH=SCD= ; Par conséquent, quand x = — 1, la fonction n’a ni Fe maximum ni te à 4 | minimum. a DES 2 n 68. Examiner la fonction a — b(x — c)? en ce qui concerne ses valeurs maxima P et minima (fiy. 64). | 4 Solution. f(x) = a — b(x — c)°. CPE PSS 4 2b LE ['(&) PSE ART RER . D PA 6 3(æ — c)?

; Fig. 64. Puisque x — c est une valeur crilique pour laduelléts ‘ f(x) — », mais pour laquelle f(x) n’est pas infinie,

Ù examinons la fonction en ce qui concerne ses valeur maxima et minima te ghen TC | |

MAXIMA ET MINIMA oa<e, fG)=< SE) ED. f(&)—=— * + Par suite, quand T—c— OM, la fonction passe par un maximum