Trouver la hauteur du cône de volume maximum N

qui peut être inscrit dans une sphère mehr es

| Ah—x)Vopr. Rép. Largeur = + A.

de rayon r.

NOTE. — Volume du cône = rer:

Mais, æ2= BC XCD =7y(2r2- y).

# Vrut Par conséquent, la fonction à étudier est D Fe l'a 0e RSR RS) Fig, 52. 2 Rép. Hauteur du cône =+ r.

5. Trouver la hauteur du cylindre de ibihé maximum qui peut êlre inscrit dans un cône droit donné. | S

ACER et EC—=h Volume du cylindre — +2.

| Mais, d’après les triangles semblables ABC et DBG,

Ph y.

œ h—7y k Par suite, la fonction à étudier est VIS en Q — y}. Rép. Hauteur — Th

6. Diviser a en deux parties telles que leur produit soit maximum.

Rép. Chaque partie — .

- 7. Diviser 10 en deux parties telles que la somme du double de l’une et du ci “4 ré-de l’autre soit minimum. Rép: 19et1.

8 Trouver le nombre dont l’excès sur son Carré soil le pe grand Retee

TPS \ | Rép. ; | 9. Quel est le nombre qui ajouté à son inverse donne la somme la plus seu possible ? gere Rép. 1.

fs supposant que la résistance d’une poutre à section rectangulaire trans-

la largeur de la poutre de résistance maximum qu’on peut tirer d’un morceau bois de 16% de diamètre ? Rép. Largeur — 8°".

Le On doit construire un réservoir à eau à base carrée et ouvert au somme

dépense. SES “Côté de la base — 4", hauteur = 4", dépense — 96 francs. de 2. Un terrain. rectangulaire doit être acheté dans le but de tracer une piste

demi-kilomètre ayant ses côtés en ligne droite et ses extrémités semi-circues. En outre, on doit acheter un morceau de terrain de 35" de largeur le g de chaque côté pour les tribunes, terrain d'entrainement, etc. Si le terrain ite 200 francs l’are, quelle sera la dépense maximum pour l’achat du terrain cessaire ? ) Fa ! |

43. Un bateau: torpillé est ancré à gun du point le plus rapproché d’un rivage et I on désire ‘envoyer un messager dans le plus court délai possible à un camp pure situé à 15km,de ce point le long de la côte. Sachant que ce messager peut marcher à à raison de 3: par heure, et ramer seulement à raison de 4, on ande | l'endroit où il doit aborder. Ré. A 3km du camp.

44. Un aromètre est formé d’un récipient cylindrique fermé par le haut et puvert par le bas par où il plonge dans l’eau. Quelles devraient être ses proporic ns. pour un volume donné de facon à employer le moins de matériaux possible (ce qui donnerait € en. même Lemps le poids minimum) ?

Ne. M de Rép. Diamètre — double de la hauteur.

sale varie en raison directe de la largeur et du cube de la hauteur, quelle

no pour lesquelles la ee sera minimum et quelle sera cette :

15. Quelles devraient ètre les dimensions et le poids d'un gazomètre dé 8. ca 000" de capacité, construit le plus économiquement possible <en tôles de + de centimètre d'épaisseur et pesant 7 kg. : : par mètre carré ? 4

Rép. Hauteur, 137"; diamètre, 273% ; poids, 440 Lo DES

16. Une feuille de papier doit contenir 18%? de texte imprimé, Les marges supérieure et inférieure doivent avoir 2% chacune et celles des côtés 1°, Déter= miner les dimensions de [a feuille pour lesquelles il faudra le moins de papier possible. Rép. 5° sur 10,4

47. Un fabricant de boîtes de carton a en stock une certaine quantité de feuilles de carton de 30°" sur 144. Avec ces matériaux, il veut fabriquer des boites ouvertes. par le haut en enlevant des carrés égaux à chaque coin et en relevant ensuite le carton verticalement pour former les côtés. Trouver le côté du carré qui devras être enlevé pour donner aux boites un volume maximum. Rép: 3cu°

18. Un couvreur veut faire une gouttière ouverte de capacité maximum dont”

le fond et les côtés aient chacun 4% de large et dont les: côtés aient la même pente. Quelle doit être la largeur au sommet ? | Rép. 8cm

49. En supposant que l'énergie dépensée pour faire mar Fig. 51. cher un bateau à vapeur varie comme le cube de sa vitesse,» trouver son taux de vitesse Le plus économique par heure.

quand on le fait marcher contre un courant qui fait c kilomètres à l'heure.

Note. — Soit v — la vitesse la plus économique; . , alors av3 — l'énergie dépensèée par heure, a étant une constante dépendant des conditions M particulières du problème FE

et v — c= la distance réelle franchie par heure. $ de

Par suite -%= est l'énergie dépensée par kilométre de distance franchie et c’est par conséquenis

la fonction dont nous avons à chercher le minimum. : Rép: v = =. 4

20. Démontrer qu'une tente.conique de couté dns nécessite le minimum

de toile quand la hauteur est égale à V2 fois le rayon de la base. Montrer que. quand la toile est mise à plat, elle forme un secteur de cercle de 15209 et qu’une tente en forme de cloche de 10" de hauteur aurait alors une base de 14" de diamètre et nécessiterait 272%? l’étoffe. ‘

21. On doit construire une chaudière cylindrique à vapeur d’une contenafñ € de 1000 décimètres cubes. Les matériaux de la paroi latérale coûtent 2 francs par décimètre carré et ceux des extrémités 3 francs par décimètre carré. Trouver: le rayon pour que la dépense soit minimum. 10 40° y

VE 22. Dins le coin d'un champ limité par deux routes perpendiculaires se trouve une fontaine située à 6 décamètres d’une route et à 8 décarnètres de l’autre. Comment une route en ligne droite longeant cette fontaine et coupant le moins possible du champ pourrait-elle être tracée ? ? c Rép. A 12 et 16 décamètres du coin.

Quelle serait longueur de la route la-plus courte qui serait ainsi tracée? |

Rép.

Rép. (55 3 +83 DE 2 décamètres

23. Montrer que de carré est le rectangle de ÉSNMELS naximum qui puisse ètre inscrit dans un cercle donné.

2. Deux, perches de Éntae a et b mètres sont debout et à une distance de pue Trouver un point sur la ligne joignant leurs bases tel que la somme Les carrés des distances de ce point aux sommets des perches soit minimum.

Rép. À moitié de la distance qui sépare les deux perches. Quand la somme de ces distances sera-t-elle minimum ?

25. Un réservoir conique ouvert au sommet doit être construit de facon à | contenir . mètres cubes. Déterminer la forme pour laquelle la quantité de maté- “ iaux employés est minimum.

96. Un triangle isocèle a une base de 42 mètres de longueur et une hauteur

0 mètres. Trouver le rectangle d’aire maximum qui puisse être inscrit dans e triangle, un côté du rectangle reposant sur là base du triangle.

‘27. Diviser le nombre 4 en deux parties lelles que la somme du cube d’une ‘lie et de trois fois le carré de l’autre ait une valeur maximum.

28. Diviser le nombre a en: deux parties telles que la somme du cube d’une partie et de la quatrième puissance de l’autre soit maximum.

29. Une bouée ayant la forme d’un double cône doit être construite à l’aide de deux plaques de fer circulaires égales de rayon r. Trouver le rayon de la base cône quand la bouée a son déplacement maximum (volume maximum).

. ra Rép. AVE

30. On remplit de vin un verre de forme conique dont la profondeur est a et ; ‘angle générateur x et l’on y jette avec précaution une sphère de volume tel u velle produise le débordement maximum. Montrer que le rayon de la sphère est

Sr: | ; € sin RCE ES SIN % + COS pa

31. Un. mur de 27 mètres de hauteur est à 8 mètres d’une maison. Trouver la ongueur de l'échelle la plus courte qui atteindrait la maison si une extrémité Posesur le sol extérigurement au mur par rapport à la maison. Rép. 13113.

32. ‘Un vaisseau mouille l'ancre à 31 du rivage, et en face d’un point situé 3h plus loin le long de la côte, un autre vaisseau est ancré à 9%" du rivage. Un anot du. premier vaisseau doit conduire un passager au rivage et aller ensuite vers l’autre vaisseau. Quel est le trajet minimum du canot? Répr132e

33. Une traverse en acier de 93" de long est déplacée sur des roulettes le long d’un chemin de 12,8 mètres de largeur et ‘dans un couloir à angles droits avec le emin. Si on néglige la largeur de la traverse, quelle largeur doit avoir le ouloir ? | Rép. 5,4 mètres.

F3. Un mineur veut creuser un tunnel d’un point A à un point B qüi se trouve 300% au-dessous de A et à 300% à l'Est du même point. Au-dessous du niveau À se trouve un lit de rochers et au-dessus de A, de la terre végétale. Si le oût du creusement dans la terre est de 5f par mètre linéaire et de 3€ dans le | L Fe. trouver quelle sera la dépense minimum pour le creusement du tunnel.

| Re Rép. 6742,65 francs.

€ CE Me

35. Un charpentier a 108 mètres carrés de bois avec lequel il doit construire ne boîte à base carrée et ouverte au sommet, Trouver les dimensions de la boite le de contenance maximum qu’il peut faire. Rép. LX 63.

36. Trouver le triangle rectangle d’aire maximum qui peut être construit sur une ligne de longueur h comme hypoténuse.

Rép. ie — longueur de chacun des côtés de LSDBI droit ti

S 37. Quel est le triangle isocèle d’aire maximum qui peut être inscrit den un. cercle donné ? Rép. Un triangle équilatéral.

38. Trouver la hauteur du rectangle maximum qui peut être inscrit dans-un » triangle rectangle de base b et de hauteur h.

Rép. 39. Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximum qu'on peut inscrire * dans l’ellipse br? + a? — ab? Rép. ay? et ba; aire — 2qb.n 40. Trouver la hauteur du cylindre droit de volume maximum qu’on peut inscrire dans une sphère de rayon r. Rép. Hauteur du cylindre 54 41. Trouver la hauteur du cylindre droit de surface latérale maximum qu'on … peut inscrire dans une sphère donnée. … Rép. Hauteur du aie x 42. Quelles sont les dimensions du prisme hexagonal droit de surface mini x mum dont le volume soit de 36 mètres cubes ? ss ; Rép. Hauteur —21/3: côté de l'hexagone — 2. 4

43. Trouver la hauteur du cône droit de volume minimum circonscrit à une” sphère donnée. Rép. Hauteur — 4r, et volume — 2 X volume de la sphère.)

44. Un cône droit de volume maximum est inscrit dans un cône droit donné, 2

‘le sommet du cône intérieur étant au centre de la base du cône donné. Montrer w

que la hauteur du cône inscrit est le tiers de la hauteur du cône donné. 1

45. Étant donné un point de l’axe de la parabole y? — Qpx à à une distance a du sommet, trouver l’abscisse du point de la courbe le plus rapproché du point g donné. Rép. T—a—p

46. Quelle est la longueur de la ligne la plus courte qui puisse être menée tangente à l’ellipse b?x? + a?y? — ab? et rencontrant les axes de coordonnées? M

Rép. a+b.

47. Une fenêtre normande se compose d’un rectangle surmonté d’un demi-… cercle. Étant donné le périmètre, on demande la hauteur et la largeur de ka FnGLLe quand la quantité de mere reçue estmaximum.

— Rép. Rayon du cercle = hauteur du rectangle. |

48. Une tapisserie de 79% de hauteur est accrochée à un mur de telle sorte que e: sa bordure inférieure soit à 9% au-dessus de l’œil d’un observateur. A quelle " distance du mur devrait-il se tenir pour la voir le mieux possible? Rép. 120, #

NOTE. — L'angle vertical formé par la tapisserie et l'œil de l’ observateur doit être maximum.

49. Quelles sont les proportions les plus économiques qu’on puisse donner à.

un pot d’étain de capacité donnée, compte tenu de la perte? PRE

Rép. Hauteur W3 X< diamètre de la base.

Re 2 MAXIMA ET MINIMA | 135

Nore 1. — Il n'y a aucune perte en coupant l’étain pour la paroi latérale du pot; mais pour De. AU le couvercle et le fond on utilise un hexagone d’étain circonscrivant les

N pièces circulaires.

À NOTE 2. — Si on ne tient pas compte de la perte, la hauteur — le dia-

o mètre.

À } NoTE 3. — Nous savons que la forme d’une alvéole de nid d’abeille est hexagonale, ce qui lui donne une certaine contenance pour le miel avec Fig. 88. - le maximum d'économie pour la cire.

E: "ARE 50. Une auge ouverte de forme cylindrique est construite “en courbant une feuille d’étain donnée de largeur 24. Trouver le rayon du eylindre dont l’auge forme une partie quand la capacité de noue auge est maxi- } num.

Réponse: rayon 24, c'est-à-dire que la feuille d’étain doit être courbée en

Î forme de demi- cercle.

4 TE Un poids W doit être soulevé au moyen d’un levier avec une force F Eine à une extrémité. le point d'appui se trouvant à l’autre extrémité. Si Je poids à soulever est suspendu en un point situé à une r distance a du point d'appui et que le poids du levier soit = 4 de w kilogrammes par mètre linéaire, quelle doit être La 77772 | à ongueur du levier pour que la force nécessaire pour soule- w

De pois soit minimum ? ré VE NÉ Fig. 56.

Rép. x

elouse circulaire de 100 de diamètre. En supposant que intensité de la \ lumière varie en raison directe du sinus de l’angle d’incidenceet en raison inverse du carré de la distance, on demande à quelle. hauteur doit ètre suspendu l'arc « électrique pour qu'une allée tracée autour de la circonférence de la pelouse soit

k éclairée le mieux possible. 1 SUR D. | | Rép. A VA

83. Le c coin | inférieur d’une feuille de papier de largeur a est replié de façon KR NN \ à toucher le bord intérieur de la page (fig. 57). (a) Trouver la | = largeur de la partie repliée quand la longueur du pli est mi- IN NT nimum. (b) Trouver la largeur quand la surface repliée est minimum. | | Rép. (a) 24; (b) 24.

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