DIFFÉRENTIELLES

delle de x est identique à Az. Par suite, si y— (x), on peut en généal écrire (2 A) sous la forme

. ®) dy = f'(a)ax ().

La différentielle d'une fonction est égale à sa dérivée multipliée par la différentielle de la variable indépendante.

Nous allons montrer la signification géométrique de cette définition (#g. T1).

Soit f’(æ) la dérivée de y — f(x) au Hunt P.

Prenons dx = PQ, alors

CRUE PO So AU UT

Par conséquent dy, ou df(æ), est l’accroisse- . ment(QT) de l’ordonnée de la tangente correspondant d'A"), Cetté considération nous donne Tinterprétation ci-après de d dérivée considérée comme une fraction :

Sr dx désigne un accroissement, choisi arbitrairement, de la

variable indépendante x pour un point P(æ, y) de la courbe y — (x), dans la dérivée |

dy PAS

= J (XL) te-S

dx LR ) ces dy désigne l'accroissement correspondant de lordonnée de la tangente à la courbe au point P.

89. Infiniment petits. — Dans le calcul différentiel, on s'occupe habituellement de la dérivée, c’est-à-dire du rapport des différentielles

dy et dæ. Dans quelques applications, il est également utile de con- sidérer dr comme un infiniment petit (voir $ 15, p. 14), c’est-à-dire comme une variable dont les valeurs restent petites numériquement, et qui tend vers zéro à un certain moment de nos recherches. Alors, d’après (B), p. 149, et (2),.p. 20, du est Spaiemens un infiniment | “Que :

- (*) A cause de la position que la dérivée f(x) occupe ici, elle est quelquefois appelée coe/jicien

| se

| e lecteur devra observer ce fait important que, puisqu'on peut donner à dx une valeur arbitraire quelconque, dæx.est indépendant de æ. Par suite, dy est une fonction de deux variables indépendantes x et dx.

.. (*) Le lecteur devra noter spécialement que la différentielle (dy) et l'accroissement (Ay) de la fonction correspondant à la même valeur de dx, (4x), ne sont pas égaux en général ; car dans la

- figure: 71, dy = QT, mais Ay — QP!.

: pé x + ‘ x d U 4 Ho NE ee ANT e "SEE 450 | CALGUL DIFRÉRENTIEL ë

Dans les problèmes où entrent plusieurs infiniment petits. on ie souvent usage du théorème suivant :

Théorème. — Dans les problèmes comportant la limite du 077 $ port de deux infiniment petits, chaque infiniment petit peut être à remplacé par un infiniment petit tel que la limite de leur rapport soit l'unité. M

Démonstration. — Soient z, 6, x, &! des infiniment petits tels que

(E) limite —1 et- limite? —1, 5 (0

ei | ÿ)

Nous avons identiquement

” 4 Ca g'

CE VS Ne | è ‘1 ‘ FA CE + £ * 731 et limite #— limite # limite -% : limite - © (th. IE, p.20) él 2 e LT RAS a ES ni bn À - D’après. (GC). A Ê ; : FER A AS PR : HIS (D) da — limite FU FSU se #4

Appliquons maintenant ce théorème aux deux limites importantes | ci-après. Pour la variable indépendante æ, nous savons ee Jet RRRgRpie us que Ax et dx sont A | :

petit, A peut à être remplacé. de: SES

Au contraire, on à montré que pour la variable dépendante 4e a et dy sont en général inégaux. Mais, cependant, nous pouvons pr trer maintenant, que dans ce cas on a également | L'ÈeE

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