DIFFÉRENTIELLES ED

Puisque que y = f'(æ), nous-pouvons écrire “4 MAD DAT

— RÉ CGT.

où « est un infiniment petit qui tend vers zéro quand Ax = 0: : Chassons le dénominateur, en nous rappelant que Ax = dx.

= | | Ay = f'(x)dx + 2 zAæ, | Ay = dy + <AÂx. #7 (B), p.149.

En divisant des deux côtés par Ay, il vient

* limite dy Et 4 | ; At— ( Ay °

et par suite limite AY 4. c'est-à-dire que, d’après le théorème ci- dessus, J

(F) Dans la limite du rapport de A2 un deuxième infiniment

PÈRE Ay peut ètre our par dy:

90, Dérivée de Pure en coordonnées rectangulaires. — Soil s la longueur (*) de Farc AP mesuré à partir d’un point fixe A sur Ja courbe (fig. 72). Désignons l'accroissement de s (arc PQ) par As.

La définition de la longueur d'un arc repose sur l’hypothèse que sue tend vers P,

mit corde + Le .

Hi e en PQ

te di tnt ba LE ve d'audit à dc ds sn let / Ac Lan F, ’ :

Si nous appliquons maintenant le théorème de la p. 150 à cette relation, nous obtenons :

: (G) Dans F: hate du rapport L une corde PQ à un deuxième % infiniment petit ie corde PQ peut être remplacée par l'arc PQ (As).

(*) Définie au 8 209.

EE de A ir NC NS NUL mad haie LUN TS AUS # ne * o : F & # 6 À Es EC TOUT T'ES TE A + # 3 * A 4 à PTE Me 152 GALCUL DIFFÉRENTIEL g ; D’après la figure 72 ci-dessus, : H) 7, a LS corde PO CREED En divisant par (Ax), nous obtenons | ÆHÉCOTAS EU Ay\° #’.

(D) Re £ Maintenant, faisons tendre os vers P comme position limite ; alors “4 Az = 0 et nous avons s S.

ds dy\° SAS ee” VE EP Le ; tie LS ESS OPEN VS ?

:sque limite /corde PQ\ __ limite /AS\ ds panre F4 AC RS à [ Puisque PA ( ce ) TU Fe) FE d’après G).] +2 | HONTE DATE | CRIE | Rp 0 Le M dx \ 6» En De même, si nous divisons (H) ie (Ay} et que nous passions as la limite, nous obtenons FE RE 2 É | ds TA EST (25) te Lens is EUR | dy dy ? RE 2 : 4 F L YA S re . : : 7 fe s \ « D’après la figure 72 ci-dessus, nous avons aussi *$ . AE à a r A e ; 08 COS = —— , SIN 9 Lise He .T UT | corde PQ corde PQ ‘6 s Madiendnt, quand Q tend vers P comme position limite, PET set 3 = nous obtenons. | | Re 2 | À ar S'dx , dy £ - (26) COST — —, sinr —%Y. | < AE dé En ECS TS 2e: E [ Puisque d’après (G) LRU ee — Jimite 27 Let limite = Dre 41e À RE PQ As ds orde PQ EE | . En faisant usage de la notation des différentielles, les formules (24) et @5) peuvent s’écrire :

Le SdyNi 2 RE TR TA TE LE Den .(07) ds=|1+(% RÉ QATAR ER 4 L ë dx | de : MERE ; E LS % À 71 F È 36 < , N, * ‘ Cid Ê E * ce ES : hé = ï Ê wi ; ; , LA:

u Ta fa dy 2 ME CU 2 AP D A à

| | DIFFÉRENTIELLÉS 153

». 0 Ô Qu a

28 ds= Vhee dy:

( ) | [ (as) sr | a

En substituant dans (26) la valeur de ds donnée par (27), il vient

(29) nie EE SIN T — PL SARA MANES

E+()T Br] dx x Un moyen facile de se rappeler les relations (24)-(26) entre les différentielles dx, dy, ds est de noter qu'elles dy sont représentées exactement par un triangle rectangle dont l’hypoténuse est ds, les côtés de

l'angle droit, dx, dy, et l'angle à la base, = (fig. 73). Donc

PNA A ds=V(dxŸ +(dy},

| et la division par dæ ou dy donne respective- L- ‘ment Ci) ou (25). D’après figure 73, on à aussi

cost, cr

s ds.

. les mêmes relations sont données par (26).

| 91. Dérivée de l’arc en coordonnées polaires. — Dans la déri- # vation qui suit, nous emploierons la à même figure et la même notation que s celles utilisées pages 93, 94.

< ‘As le triangle rectangle pue 3 (5.1 4)

Désir PQÿ — — PR + RQ -—=(bsin A5Ÿ

+ (o + ÀAo —90cos A6).

En divisant les deux membres par (A6), nous obtenons

de corde PQ' TE >/ sin A6 \? AV 1 — cos Ab É ie }=#{ A5 Jah “AUAR |

“ 7 F : TE ù ÿ tres à k OST TES ce - : SA & REX :

En passant à la limite quand A6 diminue et tend vers zéro, nous obtenons (*) ù ; | ÉA #4

ds DEL EE 30 PSE 2 SRE ” ? LR Ve

ce qui s'écrit, en notation différentielle,

(31) | | as — |? +(&)]

Ces relations entre b et les différentielles ds, de et dÿ conf repré sentées exactement par un triangle Me tangle dont lhypoténuse est ds et ks côtés de l’angle droit, dé et +46 (fig. 1° Par suite,

BND. :

et la division par d6 donne (30). De En désignant par 4 Lange formé par de et ds, nous obtenons.… immédiatement Ma CT

Fig. 75.

qui est la même formule que celle trouvée en (A), p. 94. ExEMPLE |. — Trouver la différentielle de l'arc du cercle 2 + y? = pe. Solution. Différentions : dy = 2

dæ LE

Pour trouver ds en fonction de x, nous substituons dans (27), ce qui donne

AE | - 1 = Le ES.

EEK TE ÿ

Vi L