CHAPITRE

94. La dérivée considérée comme le rapport de deux coef- 1 ficiénts différentiels. — Soit y — f(x) l'équation d’une courbe en-

gendrée par le déplacement dun point P (4g.76). Les coordonnées ze

y dece point peuvent être considérées comme fonctions du temps, ”

ainsi que nous l'avons expliqué au $ 71,

d’après XXV, nous avons

732 p.102. En différentiant par pur à 00 "av

32 Le X)ae S ) dt 6 dé | Fig. 76. us À un instant quelconque le coeffi- 4

cient différentiel de y (ou de la fonelion) par rapport au temps est égal à la dérivée de la fonction

multipliée par le coefficient différentiel de la variable Alpe par CAPOTE au temps.

Ou, en écrivant (32) sous la forme

dy “2 dt 1 dy : J D

(83) Mio 4 dt

La dérivée mesure le rapport du coefficient différentiel de y à a. en de x par rapport au temps.

Fa étant le coefficient différentiel de la longueur d’un ‘arc par rap | | û

port au temps, nous avons d’après (12), P. Ur | SR

34 As | a 54 (SH. | —/(E)+( se 10

de:

LE Ai

qui est la relation . par la one 76 ci-dessus. :, 7

<+o . LE TEMPS CONSIDÈRE COMME NOUVELLE VARIABLE 161

. Comme guide dans la résolution des problèmes analogues aux sui- . vants, on peut utiliser la règle ci-dessous :

“opération. Tracer une fi gure Ulustrant le problème. Désiqner par æ, Y:8-e1c., LES quantités qui varient avec le temps. 28 opération. Dérerer une relation entre les variables considérées qu soit vraie à tout instant.

3° opération. Différentier par rapport au temps. 4* opération. Dresser une liste des quantités données et des quan- | vités cherchées.

d* opération. Substituer Les quantités connues dans le résultat drouvé par différentiation (3° opération) et résoudre par rapport aux Thntes inconnues.

c : EXEMPLES

» 1. Un homme s’avance à raison de 8 kilomètres par heure vers le pied d’une Btour de 60 mètres de hauteur. A quelle vitesse s’approche-t-il du sommet quand 4 il est à 80 mètres du pied de la tour?

' Solution. Appliquons la règle qui précède.

Ë 1re opération. Traçons la figure 77.

4 3 Soit æ la distance séparant l’homme du pied de L la tour et y la distance le séparant du sommet de | ! la tour à un moment quelconque.

2° opération. Puisque nous avons un triangle rectangle,

Fig. 77.

8° opération. En différentiant,:nous obtenons

Qy dy 0 dm re E dt dt” Bou) ©. re oo # NT

- ce qui signifie qu’à un moment quelconque :

ent différentiel de y) — (= ) (coefficient différentiel de x). y

\ 4e opération.

RS, . — 8 kilomètres par heure.

è > û Le y = s Va? + 3600 dy ; “10 ? dt

“GRaNvILLE, Calcul diff. et int. | 1

10e \ CALCUL DIFFÉRENTIEL TETE 3

5° opération. En substituant dans (A), il vient. # 4 du = 80 Les kilomètres par | É

+ a D — >< 8 kilomètres par tee 2) 4

— 6 kilomètres 400 par heure. Rép.

2. Un point se meut sur la parabole 6y — x? de telle sorte que quand x —6, l’abscisse croit à raison de 2 mètres par seconde. Comment varient au même instant l’ordonnée et la longueur de l'arc ?

Solution.

1"e opération. Construisons la FRE (fg}- 18). 500 2e opération. GET E Lu 34 SRE TAN de. ‘4 - 9° opération. 6 9, :

pération ES 10 Fig. 78. dy x dx ù ‘2 È (0) B LL — 0e — ; à CR PE Ge RU S ce qui veut dire qu’ en un point quelconque de la parabole : 4 (coefficient différentiel de l’ordonnée) — é s ) (coefficient CAR ETS de labscisse).. v ÿ . dx 22236) ! | , | "à } je opération. Pr mètres par seconde. . 5 P— 6 dy = : € dt 2 ; ls RS Ne F0 dt 5° opération. En substituant dans (B), il vient 4 ë Fi cl ne ï 9 —"} mètres par seconde. 3 Rép.

€ u En substituant dans (34), p. 160, on obtient 4 œ = OR + (4) = 94/3 ete par seconde. | Rép. 4 D'après le premier résultat, nous voyons qu'au point P(6, 6) l'ordonnée croit n * deux fois plus vite que l’abscisse. À.

Si nous considérons le point P'(— 6, 6), au lieu du point P(6, 6), le résultat est a = —— 4 mètres par seconde, | dt : vies vi } 4 le signe moins indiquant que l’ordonnée décroit quand l’abseisse croit. F4

3. Une plaque circulaire de métal se dilate sous l'influence de la chaleur, de. telle sorte que son rayon croit uniformément à raison de 0,01 centimètre par seconde. Comment la surface croît-elle quand le rayon a de 2 centimètres 77208

Solution. Soit æ = rayon et y — aire de la plaque. 1

Alors EUR y = TL?, 45 s | | d'y dx GA TURIN CG = 27: (Ras | Vie dune 14 V3 (æ dt dt” PAROI Re

= LE TEMPS CONSIDÉRÉ COMME NOUVELLE VARIABLE 163 c'est-à-dire qu’à un instant quelconque l'aire de la plaque croît en centimètres carrés 27 fois. plus vite que le rayon en centimètres linéaires. .

dz PU dy an Vé dt dt Substituant dans (C), il vient

dy gRSe2 Sc 0,01 | dE 0,047 centimètre carré par seconde. Rép.

Le,