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De même, la somme d’un nombre impair quelconque (27 + 1) des premiers termes de cette série est | | F4

A ep Len Lu l | See Se l FRA 91 D? mi ee mu 1 (a) il k (C) SA rue Re sm D'après 6, p. { D

En écrivant (B) et (CG) sous les formes ci-après :

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” HROUS:aAVOnSs

> Hmite / 2 ns limite 1 ir or bE TR NS OOA TS } ;

el limite (s PE REA

Par suite, d’après la définition de la limite d’une variable, on voit que S, et S,,,, sont des quantités variables qui tendent vers < comme limite, quand le nombre des termes croît indéfiniment.

s En additionnant les deux, trois, quatre, etc. premiers termes de (A).

les sommes trouvées d’après (B) et (C) sont alternativement plus petites et plus grandes que —

ici la somme des termes de (A), est alternativement plus petite et plus grande que sa limite. Dans les exemples précédents, la variable K'atteint jamais sa limite. M n’en est pas toujours ainsi, car, d’après la définition de la Æmète d'une variable, À est clair que le principe essentiel de cette définition est simplement que la valeur numérique

(ou absolue) de la différence entre la variable et sa limite devienne et reste finalement inférieure à un nombre positif quelconque que nous pouvons choisir, si petit qu'il soit.

(4) Comme exemple du fait que la variable puisse atteindre sa limite, considérons l'exemple suivant. Inscrivons dans un cerele une série de polygones réguliers, le nombre des côtés augmentant indéfi- __ niment. Choisissons l’un quelconque d’entre eux et construisons le

ce qui illustre le cas où /a variable,

polygone cireonserit dont les côtés sont tangents au cerele aux sommets du polygone inscrit. Soient p, et P, les périmètres des polygones inscrit et circonserit de x côtés et C la circonférence du cercle,

et supposons que les valeurs de la variable x soient les suivantes :

US Pn+1s C, SE Pan +29 « C, RTS etc.

Evidemment, dans ce cas,

hmite C n—=œ"". "

c'est-à-dire que la limite est atteinte par la variable, dont les valeurs de trois en trois sont égales à C.

14. La division par zéro est impossible. — ns est indéterminé,

car le quotient de deux nombres est un troisième nombre qui mulüiplié par le diviseur reproduit le dividende. Mais, un nombre quelconque multiplié par zéro donne un produit nul ; de sorte que le quotient est indéterminé, c'est-à-dire que tout nombre, quel qu'il soit, peut être considéré comme quotient, résultat qui est sans aucune

valeur.

Œ La € r r L 2 Ê — n'a pas de sens, & étant différent de zéro, car il n’y à pas de

nombre qui multiplié par zéro donne un produit égal à «@. Par conséquent, /a division par séro esl une opération impossible.

Il faut faire attention de ne pas diviser par zéro par inadvertance, ainsi que. le montre l’exemple ci-après :

Supposons que 4 — b.

Alors, évidemment, ab — a?.

En retranchant b? à chaque membre, il vient

ab — b2= 0? — 6",

où, en mettant en facteur,

ba 5) 2 Db)a ep)

En divisant par a — b, on obtient

Mais RESTE donc b == 9h ou D y

Ce résultat est absurde et provient de ce que nous avons divisé par a — b — 0.

145, Infiniment petits. — Une variable & dont la limite est zéro est appelée un #n/finiment petit (”), ce que l'on écrit

limite v = 0, ou 0 = 0;

cela signilie que les valeurs numériques successives de v deviennent et restent finalement inférieures à tout nombre positif, aussi petit qu'il soit. On dit qu'une telle variable devient #nfiniment petite ou qu'elle s’évanourt finalement.

Si limite v— /, alors, limite (6 —/)—0, ce qui veut dire que /a différence entre une variable v et sa limite est un infiniment petit.

Réciproquement, st la différence entre une variable el une constante est un infiniment petit, la variable tend vers la constante comune limite. ;

16. Le concept de l'infini (x). — Si une variable » devient et reste finalement supérieure à tout nombre positif choisi, aussi grand qu'il soit, on dit que v croît sans limite, et l'on éerit

Si une variable » devient et reste finalement inférieure algébriquement à tout nombre négatif choisi, on dit que v décroit sans limite, et l’on écrit ;

fhnute = %, ou D D:

Si une variable » devient et reste finalement supérieure en valeur numérique (ou absolue) à tout nombre positif choisi, aussi grand qu'il soit, on dit que v croût sans limite en valeur numérique (ou absolue), ou que v devient infiniment grand (*), et l'on éerit

L'infini (&) n'est pas un nombre. L'infini sert simplement à caractériser un mode particulier de variation d’une variable en vertu duquel cette variable croît et décroît indéfiniment.