X—T—TA
: By: 24; Fig. 103. PRE
En substituant dans (D) et en réduisant, les équations de la développée deviennent
L RÈE 1 1 !
€ x — a(t!— sin #'), &) y = a(i — cos f’).
. Puisque (E) et (C) sont identiques comme forme, nous pouvons dire que :
La développée d’une cycloïide est elle-méme une cycloïde dont le cercle 9 générateur est égal à celui de la cycloïide donnée. ,
120. Propriétés de la développée. — D'après (A), p. 207, (A) a=æ—Rsin:, = y + Reosr.
Choisissons comme variable indépendante Ja longueur s d un arc dé
différentiation de (A) par rapport à s donne
A ee 4 B ARRET, à OS 7 — = à #2 ne DS CAS ES D OU ER : 1 Im ce ee PR NUS ETESSSS Ü RÉ LEONE SE PRE RUES | A co) As ds og Ua PR El .S
GERGLE ET CENTRE DE COURBURE 245 4 | LÉ = ae U — sin =, d'après (26):\p.7152 el : = d’après (88) et.(39), p. 177...
En substituant dans (B) et (CG), nous obtenons É (D) E — ços — R cos : + — Sin 7 7 = -<$in a. Fo | =sins—R Sin = + cos = cos - Fe ë La division de (E) par (D) donne Re ; 5 : F ; de nn ii rise -B7a q ) da ER à ter dy Rs | | de Ë Mais dB — ter — pente de la tangente à la dév stoppe en C, et
PT = — {e - ie pente de la rene à la courbe de au point corres-
: pondant P (x, à y).
. En substituant les deux derniers résultats dans (F), nous obtenons
D. ie Lt < | LE to -! rires Le , "LÉ Tr , 74 O +3 LC PE É te T
- Puisque la Fos d’une des tn est l'inverse négative de la Éore de l’autre, elles sont perpendiculaires. Mais une SC PAS laire à la tangente en P est: une normale à la courbe. Par suite :
E-- Une normale à la courbe donnée est TUE à sa développée.
ve D autre part. tons au carré les équations (D) et (E) et addition- , nous obtenons
re EME da? =°/d8 ce dR\° à - Rs. (a) Fe ë | a) ÿ
Es de CI est ie de carré de de (34), p.. -160, où ds
pe:
“ s—=5! TEE y— 8]. Par suite la relation (D) montre que
es ds” 15 à /dR AE ds ah LYCÉE 4 = Si I CA
216 CALCUL DIFFÉRENTIE L
cest-à-dire que le rayon de courbure de la courbe donnée croit ou décroît comme l'arc de la développée croît.
Dans la figure 99, ce résultat signifie que
PC PE ATeCES
La longueur d'un are de la développée est égale à la différence entre les rayons de courbure de la courbe donnée qui sont tangents à cel arc à ses extrémutés.
Ainsi, dans l'exemple #, p.214, nous observons que si nous replions -Q\PY— 44 vers la he sur la développée, le point P' vient en 0’ el nous avons |
La longueur d'un arc de cycloïde (tel que OÙ'QT) est égale à huit fors la lonqueur du rayon du cercle générateur.
121. Les développantes et leur construction mécanique. — Soit une règle flexible courbée suivant la forme de la courbe GG, « | développée de la courbe P,P, ({g.
104) et supposons un fil de longueur R, dont une extrémité est fixée en C,, S'enroulant autour de la règle (ou de la courbe). Il est. e.
clair, d'après les résultats du »
dernier paragraphe, que. quand le fil se déroule étant tenu raide, l'extrémité libre décrit la courbe P,P,, d’où le nom de développée.
On dit que la courbe P,P, est la développante de CC. Il est | . clair qu'un point quelconque du :
Fig. 104. fil décrira une développante; de | sorte qu'une courbe donnée a un … nombre infini de développantes, mais une seule développée. 74 Des développantes P,P,, P;P;, PiP, sont appelées courbes paral à lèles parce que la distance entre deux quelconques d entre elles me. 4 surée sur leurs normales communes est constante. 218 "4 Le lecteur devra observer comment la parabole et Fellipse, pages “4 211,212, peuvent être construites de cette façon, en partant de leurs | dé Pere
1 # n PAT 2 tort 4 " “ # ee ra TR cé PAT PRET TE < o Fee ét RE PARU 1e. nue à xd e N © * CERCLE ET CENTRE DE COURBURE 217 RASE | | EXEMPLES sÿ
Trouver les coordonnées du centre de courbure et l’ lt de la développée ne. ae chacune des courbes ci-après. Tracer la courbe et sa développée et tracer au 5 moins un cercle de courbure.
QUI ee +R, ' .
: de. , y?
2572 A EHSperbole 2 EG D
- = 2 : 5 x à à À Réponse : a — Rss AUD LEE B= — (a? + bd?) | { + : ; À - a* | b* RO) développée COE se (b3)3 — (a? + by.
; 4 2 2 3 Fa eu — 4.
| 172 VA Réponse : a—œr+3%32 ° PAPE VE
* développée (ax + AI ES GS 2 94%.
3. Trouver les coordonnées du centre de courbure de la parabole cubique
12 SL ASP IR: é 3 Fe — 9y5 SRE + Réponse “ a — ler CU ess JU, ES FRS 6a?y 2a*
(CIE RER EE, Dir
| 1 4 4 ee Montrer que : dans la parabole z? + y? —a?, nous avons la relation BEC y). Fr ? ’ à A
“ A 5. Étant à donné lé équation de l'hyperboleéquilatère 2zy — a?, montrer que
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PH = » « Dar
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