CHAPITRE XV
D — = DIFFÉRENTIATION PARTIELLE
E Ée 122. Fonctions continues de deux ou plusieurs variables = indépendantes. — On dit qu'une fonction /{æ, y) de deux variables : indépendantes est continue pour les valeurs (4, b) de Cr y) quand ee AE Na limite
26e et D= fa. b).
3 … quelle que soit la façon Te æ et y tendent vers leurs limites respectives a et 4. Cette définition est quelquefois résumée brièvement comme il suit: wn très petit changement dans une des variables D. à éndéqendantes ou dans toutes les deux à la fois, produit un très
$ | petit changement dans la valeur de fé fonction (”).
- Nous pouvons illustrer cette définition géométriquement en considérant la surface représentée par l'équation 2 — (x, y).
Considérons un point fixe P de cette surface pour lequel += «a et y—=6 (fig. 105).
- Désignons par Ax et Ay les accroissements des
dant de la varianle dépendante z, les coordonnées de P’ étant PA Lee L A É (æ+ AX, y + AY; z+ Az).
“En P la valeur de la fonction est
— fa, b) = MP.
3 + Si la fonction est continue en P, de quelque façon que Ax et Ay tendent vers zéro, Az tendra également vers zéro , c'est-à- dire que MP’ tendra ? à coïncider avec MP, le point P° endani à se confondre
© Le lecteur comprendra mieux -cette définition en relisant le S 18, p. 15, sur les fonctions continues d’une seule variable. 4
. variables indépendantes x et y et par Az l'accroissement COrrespon-
GA
À DE limite fée Dre»
(B) — limile féer+ are D art Re LE
avec le point P de la surface, quelle que soit la direction dans doi “4 P’tende vers P. ; #4 On définit d’une façon snnlocts une fonction coñtinns de plus de deux variables indépendantes. à Dans ce qui suit, nous considérerons seulement les valeurs des variables indépendantes pour lesquelles une fonction est continue.
123. Dérivées partielles. — Puisque les variables æ et y sont % | indépendantes dans
on peut supposer Te varie, tandis que y reste constante, où invere sement. x s
La dérivée de z par rapport à æ quand æ varie et que y reste constante (*) est appelée la Tee partielle de z ne ARE à et 0
on la désigne par le symbole °? NT æ
Nous pouvons donc écrire rs «
dL rare
De même, quand æ reste constante (*) et que y varie, 3 dérivée partielle de z “0 je à y est ;
OUT SA E n of == s'écrit également — f(x ou .
here SEE A » y) dr
De même,
dZ PUS MT 6 “= s'écrit également D f(x, y) on 0 : | 0Y x 7 dy
Afin d'éviter la confusion, le à rond (*) a été généralement adopté 14 pour indiquer la différentiätion partielle. Les autres notations He On. >: utilise sont | “4
EL fu Fo Hd FOUR SDS DES ASE
mL
(” Les valeurs constantes sont substituées dans D fonction avant de différentien. (ES Introduit par Jacobi Ge 1851).
Re: DIFFÉRENTIATION PARTIELLE | 2204
Notre SAtIO TE peu être éfenduë à une fonction d’un nombre: quelconque de variables indépendantes. Ainsi, si
LE(S.) y. 8).
nous avons les trois dérivées partielles
+ Pers Or du SOUS A dF CS dF ne | CRE ou MAT RS RE dx dy y d£ dx y dZ . - Exewee |. — Trouver les dérivées partielles de z — a? + 2bxy + cy?. Ke Solution. sen ax + 9by, en traitant y comme une constante,
: SRE == APE 2cy, en traitant æ comme une constante.
RE y 4 Exempce Il. — Trouver les dérivées partielles de u = sin (ax + by + ca). | Solution.
DA ju
— a COs (az + by + cz), en traitant y et z comme des Constantes,
D = b cos (ax + by + cz), en traitant x et z comme des constantes, D 0 HUE
n À | ME C COS Car + by + cz), en traitant æ et y comme des constantes.
. En nous reportant à la fonction
La | | Cr, y)
