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AIR Le PPS ÿ 54 LA ds RE M ar ls ETS D: A PS EN AI 2 27 NAT TER =1 DT bd æ Ê < nt Fe ist ès pe n & YA Re } D es : 5 7 + | SA GOSNTAPE a 224 de CALCUL DIFFÉRENTIEL 42. u —xy"; montrer que 1% Cp y} = (x + y + log u)u. 13. u— log (x? + y?+ 35 — Bxyz); montrer que CUT EE FRE Me 4.0 Ç dt dy dZ 5 A De A © D:

44. u—e* sin y +e) sin x; montrer que fs : PC. DU QU poe e0y LL Der+y sin (x + y).

dt dy 2 | 45. u — log (tg x + tg y +tgz); montrer que du MS

Sin 27 -<

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Eu sin y + sin LT dy

16. Soit y la hauteur déni cône circulaire droit et x le rayon de sa base. Mon- | trer: (a) que si la base reste constante, le volume varie £xx? fois plus vite que 19 la hauteur ; (b) que si la hauteur reste constante, le volume varie ray fois Fes “4

vite que le rayon de la base.

47. Un point se meut sur le paraboloïde elliptique z =T+E et aussi dans

un plan parallèle au plan XOZ. Quand x — 3 mètres et croit à raison de 9 mètres par seconde, trouver: (a) le coefficient différentiel de z par RUE? au (Emps, (b) la vitesse du point; (c) la direction de son mouvement.

Rép. (a) v. = 6 mètres par seconde ;

(bi 313 mètres par seconde ; (c) <= arc tg*, angle fait avec le plan XOY.

18. Si, sur la surface de l'exercice 17, Le point se meut Fear un plan parallèle. au plan YOZ, trouver, quand y —2 mètres et croit à raison de 5 mètres par

seconde, (a) le coefficient différentiel de z par rapport au temps : (@) la more du

point ; (c) la direction de son mouvement, >:

Rép. (a) 3 mètres par seconde; (b) sv? mètres par seconde :

eu LA

125. Dérivées totales. — Nous avons déjà considéré la différen-

tation d'une fonction de fonction d’une seule variable indépendante, À

Ainsi, Si y=fC) = 4x).

nous avons montré que \ | | > dy __ dy, dv Den de de. da Re Res

Nous considérerons maintenant une fonction de deux variables,

j nie RATE : Le 7e es À Fe des EE < œ x 6 sn Éd he Ca LA Fe LE Pa x" L Li ter 0 Fe 4 Ka € En 1 | #3 d ca o, D F tr.

LM + Re - | 3 # AMIE i É « # & . , = . : D 58 d - DIFFÉRENTIATION PARTIELLE 225

di épe dant toutes les deux d’une seule variable indépendante. Soit la fonction ee :

FT LC) te

où æ æ el y: sont fonctions d’une troisième variable £. |

Re Donnons à à é un accroissement Af, ét soient Ax, A? y, Au les accrois- = | sements correspondants de æ, y, u. Alors la quantité

# Au= f(x + A, Rio 6 NE È est appelée l'accroissement total de u.

En pen eten retranchant f(æ,:y+ Ay) dans le second membre,

| EDGE Aÿ)— fe y + pl de +/@,y+Ay)— fe: y)l.

3 Le | -4 Fe aan le théorème de la moyenne (46),.p. 190, à chacune Fe deux différences du second membre de (A). nous obtenons pour

à pee première différence.

Fès aa Ayÿ)— f{æ, y + Ay) = f(x +0, - Ar, y + Ay)Ax,

; MZ az et Dante æ varie pendant que y + Ay reste constant, nous obtenons la dérivée — 23 - partielle Par rapport à z.]

G % ox

534 Pour la seconde différence. nous obtenons

A y+ A, y)= fe y +0 ApAy. - % aa= ay et puisque y varie ROSsne que + -reste constant, nous obtenons la dérivèe partielle = par rapport à 7.]

“En divisent @) par A7, il vient

ne — LC +0 - A, y APE + file y +0 Ay) SE

| À Maintenint faisons tendre Af vers zéro, nous obtenons 1: SMS NNR ge D fie D) era EL fe L)

SfPuisque ar et Ay tendent vers zéro en même temps que Af, nous obtenons