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f(æ) est alors continue pour & — «4.
La fonction est dite discontinue pour æ — a si cette condition n’est pas satisfaite. Par exemple, si HoNe 2) HE
| Dit
Nous appelons maintenant l'attention du lecteur sur les cas suivants, qui se présentent fréquemment :
1° Cas. Comme exemple d’une fonction continue pour une valeur
particulière de la variable, considérons la fonction
Pour æ — 1, ES EES d r
D'autre part, si æ tend vers 1 d’une manière quelconque, la fonc-
üon /(æ) tend vers 3 comme limite. Par suite, la fonction est conti-
nue pour æ — 1.
PR RP EN PT TR QE TT T MS A E p: NON EC di u
LA
LA
2e Cas. La définition d’une fonction continue suppose que la fonction est définie pour æ — 4. Si ce n'est pas le cas, 1l est quelquelois possible d’assigner à la fonction une valeur telle que su L— a 1lacondition de continuité puisse être satisfaite.
Le théorème suivant comprend ces cas :
Théorème. — + (x) n'est pas définie pour x = a et si
limite a D, f(x) Er B,
f{r) sera continue pour x = a si l'on prend B comme valeur de f(x) pour æ = 4.
Ainsi, la fonction
n'est pas définie pour æ—2 (parce qu'alors il ÿ aurait division par ZéTO).
Mais pour toute autre valeur de +,
Rp — = Xx+)2, : æ— 2 limite € el ane) ,) x 1 , DE 4 d'où rERRE Fab T res LD ,
Bien que la fonction ne soit pas définie pour æ—2, si nous lui assignons arbitrairement la valeur # pour + —2, elle devient alors ASS pour cette valeur. \
Une fonction f(x) est dite continue dans un intervalle quand elle est continue pour toutes les valeurs de x dans cet intervalle (.
19. La continuité et la discontinuité des fonctions illustrées par leurs graphiques. — (1) Considérons la fonction +° et posons
(A) U ms T>.
() Dans cet ouvrage, nous nous occuperons uniquement des fonctions qui sont continues en général, c’est-à-dire continues pour toutes les valeurs de æ, sauf pour certaines valeurs isolées, nos résultats n'étant considérés comme v alables, d’une façon générale, que pour les valeurs de æ qui rendent réellement continues les fonctions dont il s’agit. À moins que l'attention ne soit appelée spécialement sur ce point, nous ferons abstraction des valeurs exceptionnelles de æ pour lesquelles la fonction est discontinue. La définition d’une fonction continue est quelquefois résumée brièvement (mais d’une façon imparfaite) sous cette forme : une petite variation de x produit une pelile variation de f(x).
; Sete ne considérerons pas les fonctions ayant un nombre infini d’oscillations dans une région imitèe
Et: THÉORIE DES LIMITES 17
Se
Si nous donnons à x des valeurs déterminées et que nous -calcu- 4 lions les valeurs correspondantes de y, nous pou- Y vons construire une série de points. En traçant à main levée une ligne continue passant par ces points. . nous obtiendrons une bonne représentation de l'allure . générale de la fonction (fig. 2). Ce tableau ou image de Ja fonction s'appelle son graphique. Cest évi- 5 + demment le lieu géométrique de tous les points Fig. 2 satisfaisant à l'équation (A). x Une telle série ou assemblage de points s'appelle également une ® courbe. Evidemment, nous pouvons donner à æ des valeurs suffisamment voisines l’une de F'autre pour que les valeurs de y (et par suite les points de la courbe) soient aussi rapprochées l'une de l'autre qu'il nous plaira. En d’autres termes, la courbe est ininterrompue el la fonction æ° est continue pour toutes les valeurs de x. (2) Le graphique de la fonction continue sin æ (fig. 3) est obtenu en traçant le lieu de
y = sin Z.
On voit que la courbe est inin- < Fig. 3. re
| (3) La fonction continue e* se
rencontre très fréquemment en analyse. Si nous construisons son
graphique en partant de
x ; EX De (e— 2,718...) nous obtenons une courbe continue, ainsi que le montre la figure 4 | Nous voyons clairement par la figure que (a) quand z=@, limite, Ve) A 7" quand 4; y(=e*) est positif et croit quand on va de l’origine vers la droite ; (c) quand + < 0, y(—e*) est encore positif et décroit quand on va de l’origine vers la gauche. (4) La fonction log, x est étroitement liée à | celle que nous venons de discuter. En effet, si nous consiruisons son graphique (fig. 5), en partant de
. Lo Fis. ».
Graxviir, Ca'cul Ciff. etint. : 2
nous voyons | qu'il se comporte par Tapport à OX et à OY, comme le À graphique de e* par rapport à OY et à OX a
CALCUL DIFF ÉRENTIEL
Dans ce cas, nous avons le tableau art
(a) POUL Te lon PE ont
(6) Pour æ > 1, log,
(ce) Pour 1> x > 0, log,æ est négatif et croît en valeur numé-
æ est te et croit quand æ croit.
rique (où absolue) quand x drone c'est-à-dire que
limite 1.
