DO MP

(d) Pour æ < 0, log, x n’est pas défini.

Par suite, le graphique se trouve entièrement à droite de OY.

. 1 RTE | (>) Considérons la fonction — et posons | %

Si nous traçons le graphique de cette fonction ({4. 6), nous voyons

Fig. 6.

(6) D’après le graphique (fig. 7) de

on voit que cette fonction est discontinue pour les deux valeurs æ = +1, mais qu'elle est continue pour toutes les autres valeurs

de æ.

(7) Le graphique de

que quand æ tend vers zéro par valeurs négatives, les points de la courbe s’abaissent ®

jusqu’à l'infini et lorsque æ tend vers zéro par valeurs positives, ils s'élèvent jusqu'à linfini. ra

La courbe ne forme donc pas une branche

continue allant d’un côté à l’autre de l'axe

des y, ce qui montre graphiquement que la fonction est discontinue pour æ—=0, mais continue pour toutes les autres valeurs de æ.

Co M Fig. Le

pe diots i” ’ up mére ES 4 de

montre (/g. 8) que la fonction {g æ est discontinue pour un nombre infini de valeurs de [a variable 1in-

17 us

dépendante æ, savoir x — = n désignant un nombre entier impair quelconque, positif ou négatif. | (8) La fonction are tg æ a une inlinité de valeurs pour une valeur donnée de +, le graphique de Féqua- Fig. 8.

on y—arcigæ consistant en un . nombre infini de branches. Si, cependant, nous ne considérons qu’une y branche en particulier, la fonction est continue. —— Par exemple, si nous disons que y doit être le plus petit are en valeur numérique (ou absolue) dont la tangente est æ, c’est-à-dire que ! ne doit

prendre que des valeurs entre — © et - à nous

sommes alors limités à la brénohie passant par

Fig. 9. l’origine (fig. 9) et la condition de continuité » est faites

(9) On trouve de même que arc tg — est une fonction ayant un € v

nombre infini de valeurs. En ne considérant (9. 10) qu’une branche

du graphique de y—arctg —, nous voyons que quand æ tend vers zéro par

valeurs négaliv es, y à pour limite —

el que-quand æ tend vers zéro par valeurs

Fig. 10.

positives, y a pour limite + Par

suite la fonction est discontinue pour æ — 0. Sa valeur pour æ = 0 peut être choisie arbitrairement. |

Il existe des fonctions qui sont discontinues pour toute valeur de la variable indépendante dans un eertain champ. Dans les applications ordinaires de l'Analyse, nous avons affaire à des fonctions qui ne sont discontinues (lorsqu'elles le sont) que pour certaines valeurs isolées de la variable indépendante. De telles fonctions sont

es L'ATE

AO SE A ER D RO EU Ce 0 CM ETC RO NE TAPER PNR ER Ce 1 $ A Ft BE A ) rer re af DUT éd sai

donc continues, en général ; ce sont d’ailleurs les seules qui seront considérées dans cet ouvrage.

20. Théorèmes fondamentaux sur les limites. — Dans les problèmes relatifs aux limites, on fait généralement usage des théorèmes suivants. On suppose que la limite de chaque variable existe et qu'elle est finie.

Théorème 1. — La limile de la somme algébrique d'un nombre fini de variables est égale à la somme algébrique des limites des différentes variables.

Théorème II. — La limite du produit d'un nombre fini de varèables est égale au produit des limites des différentes variables.

Théorème III. — La limite du quotient de deux variables est égale au quotient des limites des variables séparées, pourvu que la limite du dénominateur ne soit pas nulle.

Avant de démontrer ces théorèmes, 1l est nécessaire d'établir les

propriétés suivantes des infiniment petits :

(1) La somme d'un-nombre fini d'infiniment petits est un infiniment petit.

Pour démontrer cette proposition, nous devons montrer que la valeur numérique de cette somme peut être rendue mférieure à toute

quantité positive (telle que +), si petite qu’elle soit ($ 15). Cette opé-

ration est évidemmenkpossible, car la limite de tout infiniment petit étant zéro, chacun d'eux peut être rendu numériquement mférieur

ñ ces infiniment pelits peut être rendue numériquement inférieure à &.

(2) Le produit d'une constante © par un infiniment petit est un »

infiniment petit.

Car la valeur numérique du produit peut toujours être rendue inférieure à toute quantité positive, si petite qu’elle soit (telle que <) en

rendant la valeur numérique de l'infiniment petit inférieure à =.

(3) Le produit d'un nombre fini d'infiniment petits est un infiniment petit.

Car la valeur numérique du produit peut être rendue inférieure à (oute quantité positive choisie, si petite qu’elle soit. Si le produit

à — (n étant le nombre des infiniment petits) ; par suite, la somme de |

PTT PAR ne Ter Jr ie PAS EME

ral #

donné contient x facteurs, comme chaque infiniment petit peut être supposé inférieur à la racine #° de :, le produit peut être rendu inférieur à < lui-même.

(4) S% v est une variable tendant vers une limite l, différente de zéro, le quotient d'un infiniment petit par v est aussi un infiniment petit.

Car si limite vd — / et que Æ soit un nombre un inférieur à / d’après la définition de la limite, & deviendra et restera

0 [4 . D x e e € \ finalement supérieur numériquement à #. Par suite, le quotient — , où

s est un infiniment petit, deviendra et restera finalement inférieur

numér iquement à

. Par conséquent, d’après (2), ce quotient est un infiniment petit. :

Démonstration du théorème I. — $Soient »,, v,, 0,, :-- les variables, et 4, L, 4, -:. leurs limites respectives. Nous pouvons écrire

tps l, — £is UV» — À,

OÙ e), Es, -- sont des DTANEN petits (c'est-à-dire des variables ayant zéro pour limite).

En additionnant membre à membre, il vient

(A) RE PRET AREE 07e CONTE ER As ES (sea tbet: à +).

Puisque le membre de droite est un infiniment petit, d’après (4), p. 20, nous avons |

limite (ui Bou) LL ET ENE ou

honte (o, +0 +0, +:..)= limite v, + limite &,+ limite D, + 2: Ge Ed:

Démonstration du théorème II. — Soient v, et v, les variables, Z et Z leurs limites respectives et 2,, & des infiniment petits. Alors UE < D = LH 2. EE

En multipliant membre à membre, il vient

Do = (4 +e)(L +0) ES 4 | = ll + lies + ls, + 2e ;

ou | (B) Ü, Va FU L & — Les +- Le, —- €1€0. - | Die le membre de droite est un infinmment six d'après (1} Ë et (2), p. 20, nous avons | | limite (o,v:) = {4 = hmitev, - limites.

Gr Ed Démonstration du théorème 771 — En employant la même nota. 4 lion que précédemment, il vient q Ve Ds De + + 2 b “ ou (C) PER li: Le — 1€2

DA FA Ke (lo 22)

Ici encore, le bi de droite est-un infiniment petit d'après (4), p. 21, si 4-20; par suite -

limite { 2) — h imiter, ne) l, Himitew,

Cned

Il est évident que si l’on remplace une ou plusieurs variables par des constantes, notre raisonnement est toujours valable et que, par: suite, les théorèmes ci-dessus restent vrais dans ce cas.

21. Valeurs limites particulières. — Les exemples ci-après ont une importance particulière dans l'étude de l'Analyse. Dans ces exemples, on suppose a > 0 et c 0. i

Sous forme de limites, ils s’écrivent Formes abrégées souvent usitées

(1) HRLO AC. Ces Le h WE

(2) lite

i { \ , Ab chatelet gd Pt he à OnS ES Gi Ed does, >: 03

(4) limite FE — (E : € as 0.

. PE ren D où N (OS FER = +, quand a < 1; a =+, (6) RS ae —(}; quand a < 1; CS (P 4148 PAUSE a = 0, quand a > 1; a ® —(.

(8) Ave &—=+ oo, quand @& > 1; RS (9) ee log,æ=— 1%, quand a 1; log, 0—+ ponte log,æ—— +, quand a 1; log,(+—o)——.

(11) | 'Ee log,æ—=— x, quand a > 1: log, 0 — — .

(12) ES log,æ—+, quand-a > 1; log, + D} 00.

Les expressions de la seconde colonne ne doivent pas être considérées comme exprimant des égalités numériques (oo n’étant pas un nombre). Ce sont simplement des équations symboliques impliquant les relations indiquées dans la première colonne et c’est ainsi qu'on doit les comprendre.

limite Sin x