LE

et nous disons que la fonction «à été développée en une série de. Taylor.

Pour toutes les valeurs-de + pour lesquelles le reste tend vers zéro quand n croit indéfiniment, cette série est convergente et Sa somme donne la valeur exacte de /(x), parce que la différence (AérÈtes entre la fonction et la somime de x termes de la série fe vers la limite zéro ($ 15, p. 14).

Si la série est convergente pour des valeurs de æ pour lesquelles le reste ne tend pas vers zéro quand À croît indéfiniment, la limite de la somme de la série n’est pas égale dans ce cas à la fonction /(æ).

La série illimitée (62) représente la fonction pour les valeurs de a et celles-là seulement, pour lesquelles le reste tend vers £éro quand le nombre des termes croît indéfiniment.

Ilest généralement plus facile de déterminer l'intervalle de convergence d’une série que celui pour lequel le reste tend vers zéro ; He les cas simples les deux intervalles sont identiques.

Quand les valeurs d’une fonction et de ses dérivées successives 2

sont connues pour une certaine valeur de la variable, telle que + = 4, la formule (62) est alors employée pour trouver la valeur de la fonction pour des valeurs de æ voisines de a. Cette formule porte également le nom de développement de f(x) dans le voisinage de x = a.

ExEuPpLE. — Développer log x suivant les puissances de (x — 1). :5 208)

Solution. ACL 108 LT TASSE FE)= FO=t; PES 50e FE) — 2, {CD — 9. - « SH

Po le) 1 ef CAT 0) Mes FO Rte. sente e EEE

(*) Publiée par le D' Brook ‘Faylor (1685-1731) dans sa Methodus Incrementorum, Londres, 4715.

En substituant dans (62), il vient log & = à — 1 — (x — 1) + x — 1) — Réponse.

Cette série est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre. 1

et 2 et elle représente le développement de log x dans le voisinage de x —1, le reste tendant vers zéro.

Quand une fonction de la somme de deux nombres & et æ est donnée, Soit /(a + +), il est souvent nécessaire de développer la fonction en une série entière par rapport à l’un d'eux, æ par exemple.

À cet effet, nous utiliserons une autre forme de la série de Taylor, obtenue en [AMIE ant æ par q + æ dans la formule (62), savoir

Pé

(63) Aa+x)= (a) + Era) + Era) + À Pa) + à

EXEMPLE. — Développer sin (a + x) suivant les puissances de x.

Solution. lei, f(a + x) = sin (a + x).

Par suite, en posant # — 0,

f(a) = sin a,

f'(a) = cos a, 3 f'(a) = — sin a, * f"(a) = — cos 4, ‘ as $ . L . .

È En substituant dans (63), il vient à : à 33 k | sin (4 + x) = sin 4 + . n Réponse.

4 | EXEMPLES (”) | NET F . 4. Développer e* suivant Les puissances de x — 2. | : ar er = + ex — 2) + > Sa — AE à $ RER Développer 23 — 9x? + x — 7 suivant les puissances æ —1. #6 | Rép. —3+4(t—1)+(x — 1) +(x— 1}:

É 3. Développer 3y° — 14y +7 suivant les puissances de y — 3. E - Rép. — 8 + 4(y — 3) + 3(y — 3).

na 4. Développer 52? + 74 + 3 suivant les puissances de z — 2. - CRC è Rép. 37 + 97(z — 92) + 5(z — 2}.

4 5. Développer 41° — F4? + {x +9 suivant les puissances de — 4.

6. Développer 5y* + 6% — 17y? + 18y — 20 Suivant les puissances de ? y + #

Développer e? suivant les puissances de æ + 1.

- (?) Dans ces reg nous supposons que les fonctions peuvent être; développées en séries - | entières.

266 CALCUL. DIFFÉRENTIEL ©. ” 8. Développer sin x suivant les puissances de æ — «. 9. Développer cos x suivant les puissances de à — x.