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C HAPITRE X VII . DÉVELOPPEMENT DES RC MAS

143. Introduction. — Le lecteur est déjà familiarisé avec quelques méthodes permettant de développer certamnes fonctions en Neue Ainsi, d’après le théorème du binome, |

(A) .. “(a+ x) = a + her +6 + had te

ce qui donne une série entière finie d’après laquelle la val éxacte”"-4 de (a+x) peut être calculée pour une valeur quelconque déper Nous avons également par division |

(B) tete He : ne 1% LE Le deuxième membre représente une série équivalente au premier, dont tous les coefficients excepté celui de æ' sont constants, » étant un nombre entier positif.

Supposons que nous voulions calculer la valeur de cette fonction

quand æ = 0,5, non . par substitution directe dans substituant æ — 0,5 dans la série équivalente

> MAIS en SE RAS à

ral

(CO) A+rx+ar + RÉ “ue re Fr En prenant » —8, (C) donne pour x = 0,5

(D) - + 1, SIISTE 0, 0078125.

LME

Si nous supposons maintenant que la valeur de la fonction est lt M somme des huit premiers termes de la série (C), l'erreur que nous faisons est de 0,0078125. Cependant, au cas où nous aurions besoin ; de la valeur de la fonction avec 2 décimales seulement, le nombre 1.99 est une approximation très grande de là vraie valeur, puisque l'erreur est inférieure à 0,04. I est évident que si nous désirions un

Si ce reste tend vers zéro quand le nombre des termes croit sans

plus grand degré d’exactitudé, nous n’aurions qu'à utiliser un plus

grand nombre de termes de la série entière e. Cm ME

Au surplus, puisque nous voyons immédiatement que

ee 0 1—xlir-05

la discussion ci-dessus n’est pas nécessaire, si ce n’est en. vue d’une illustration de la méthode. Te

En fait, la méthode qui consiste à calculer la valeur d’une fonction d’après une série équivalente qui enest le développement est de la plus grande importance pratique, les valeurs des fonctions transcendantes élémentaires telles que sinus, cosinus, logarithme, ete., étant calculées beaucoup plus simplement de cette façon.

Jusqu'à présent, nous avons appris à développer en série quelques

formes particulières seulement. Nous allons maintenant examiner

une méthode de développement applicable à une classe étendue et importante de fonctions. Cette méthode fait l’objet du /héorème de

Taylor.

144. Théorème (*) de Taylor et série de Taylor. — En remplaçant & par æ dans (E), p. 191, le développement du théorème de

… da moyenne prend la forme

(61) Hx)= (a) + ra Mae = (œ— a) Fa) + +) f'(a)

Heu D — sl #0 =) LEP te ),

expression dans laquelle æ, se trouve compris entre à el. À

La formule (64), qui est une des plus importantes de l'analyse, est

appelée théorème de Taylor ou formule de Tai ylor. Nous voyons

qu'elle exprime f(x) comme la somme d’une série finie en (x— a).

Le dernier terme de la formule (64), savoir GE = fx), est

quelquefois appelé le reste dans la formule de T 4e aprèsn termes.

es

(*) Connu également sous Le nom de formule de Taylor,

2 cire F #2 #: : Lin s: | a À # < - us ‘ Fr L 0 ; NDS 2 LT 264 | = CALCUL DIFFÉRENTIEL

limite, le membre de droite de (64) devient une série entière infinie appelée série de Taylor (). Dans ce cas, la formule (61) s “écrit sous. la forme :

(62) 1m)=ra)+* Er (a)+ @—s} f'(a)

NT