Théorème de Maclaurin et série de Maclaurin. ECO ne

obtient un cas particulier du théorème de Taylor en 1 posant EE dans la formule (64), p. 263, ce qui donne

(64) f(x) = (0) . f'(0) ee. n "(0) Her if mit a

pe 0 “ro x æ en ( jee à formule dans laquelle +, se trouve te entre 0 et æ. La formule (64) est Sphere théorème de Maclaurin. Le membre de droite est évidemment une série en æ dans le même sens que (64), p. 263, est une série en x — 4.

En faisant a —0 dans (62). p. 264, nous Due la séme de Maclaurin ()

(65) HO À AO ro CO +-

qui est un cas particulier très utile-de la série de Taylor.

Ce qui a été dit au sujet du reste et de la convergence de la série

de Taylor s'applique à la série de Maclaurin, cette “dernière n “étant qu'un cas spécial de la première.

- Le lecteur ne devra pas manquer de noter l'importance d'un déve-

() Ainsi nommée d'après Colin Madautin (1698-1746) qui le premier l'énonca dans son Traité des FRS Edimbourg, 1742. En réalité, la série est due à Stirling Le 1770).

* 4 X ra,

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS " 267 loppement tel que (65). Dans toutes les évaluations pratiques, on cherche des résultats exacts à un certain nombre de décimales, et puisque la méthode en question remplace une fonction, qui peut être . difficile à calculer, par #2 polynome ordinaire à coefficients constants, elle est très utile pour simplifier de tels calculs. Naturellement, nous . - devons utiliser suffisamment de termes pour obtenir le degré d’exac- titude désiré. | :

= Dans le cas d’une série alternée (& 140, p. 254), l'erreur commise en s’arrêtant à un terme quelconque ést numériquement inférieure à ce terme, puisque la somme de la série qui suit ce lerme est numéri- = quement plus pelite que ce terme. | de Exembce L. — Développer cos + en une série entière illimitée et déterminer pour quelles valeurs de x elle est convergente. ; Solution. En différentiant d'abord et en posant ensuite + — 0, nous obtenons

f(x) = cos T; | (0) — 1, ur. f(a)= — sinr. | f'(0) —0, Dents: ; fr) = — cos 7, f"(0)—= — A, , EUR ; FES Sia,r; ME 6:

ÿ fYE) = cos à, D NON, > f(x) = — sin », f"(0) = 0; À LUC) = — COS f 10) = — À, + | ? etc. etc.

ee “ + u \ En substituant dans (65), il vient Mere LT e \ 22 2% 26 + Le T LC ? COS € = À — — + -— — “LS DIS IT AG.

En comparant avec l'exercice 20, p. 264, nous voyons que la série est convergente pour toutes les valeurs de x.

- On a de même pour sin x: à Je SZ SX 98 à mp :1 - (B) ne ge Pr TARN, FL CAMES À SEE le série qui est convergente pour toutes les valeurs de + (ex. 24, p. 261) (7). : L (*) Puisque ici fn) (x) —sin {x + F et fn)(æ1) = sin (e: + Fo nous avons, en substituant. + K dans le dernier terme de (64), p. 266, ; ee is | : Reste — . sin (er + æ) ; : 0< rm < x.