Autre Ur des équations de la tangente à une courbe

gauche (9. 149). | la courbe en - question est la cour he d’intersection AB de deux surfaces F(x, y, :)— 0 et G(X, y, 2) —0, la. tangente : PT .en P(x,, Yi: 3) est l'intersection des plans tangents- CD et CE en ce point, car elle est également tangente aux deux surfaces et, par suite, elle doit se trouver dans les deux ‘plans tangents.

Les équations des deux plans tan-

Fig. 149.

gents en’ p. sont. d e CAE

\ ee x)+° Sie s)+ EL(e— 2) 0 PACE EG x—x)+° Ge )+S EG a)= 0

Prises simultanémient, les équations (75) sont les équations de la tangente PT à la courbe gauche AB. Les équations (75) peuvent s’écrire sous une forme plus condensée

(76) 74 dF,0G, dF,0G, OF,oG, dF,dG, F,dG,. dF,èG

Ôyi dz: dz dy dZ,0xX, ‘OX; ÙdZz, dx OV, did

1 IS Pr ST CPR OA es 1 à IR CL ut 2 as m7". ee VE #. pd: he Es 4e

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7 164. Autre forme de LSqUANoR du plan normal à une courbe

| gauche. — Le plan normal à une courbe gauche en un point donné a déjà été défini comme étant le plan passant par ce point perpendieulairement à la tangente à la courbe en ce point. Ainsi dans là figure 149, PHI est le plan normal à la courbe AB en P. Puisque ce plan est perpendiculaire à (77), nous avons immédiatement

DFdF. ÈF.oFif 7 JOPar, D'AA 1dz, dx, __ (dx, dy, k J 78) | — | sr. (GTrz4)= ne F9 bee ET eg 7) co e 070 02 DA (02, dk, |.” dx, A | qui est l'équation du plan normal à une courbe gauche. EXEMPLES À RESTÉS

1. Trouver les équations de la tangente et l'équation du plan normal en T4 | Cr, r, 1ÿ/2) à la courbe d’intersection de 4 la sphère et du cylindre dont les équa ;

tions sont respectivement LS D Hp 4, a Hype, ; | Solution. Soit nr LEE RAS ET 2 , 2 F= 2 + +z—4r ‘4 ‘ !

et G—=a?+ y —9rx. à.

F Sr ere Moy, Mizor, Mio dd, QUn DL | Ë.

à] à | GAS y 3] Le 0, BG 25 PARU: 2G 22 4 - dd OA 074 ; AE D 3 4 +4 7 En substituant dans (71), il vient + Rae | En. E ve LT OY TL 2 A2 ME ÿ | < — j Æ (f) Tax ; Â # Le > A Fig. 150. Ne DS NOUS PER 5 | LOU Y=TT LR V IE 8" & pour les équations de la tangente PT en P à la courbe d’intersection.

Re {APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE x, SLT Es Se substituant dans (78), nous obtenons l'équation du plan normal” L | € ne —V@-n+04-nD+(—12)=0 © : "4 re ss $ ©: ÿaz—:—0. 4 4 2. Æ rouver les équations de la tangente au cercle és D MONT UT SET Er 1 au cout (2, 23, D) | 3 POSE 0 Dr Fe > | Rép. Qx + W/3y + 32 — 98, PLrbte "4 3 Trouver lé don du plan normal à la courbe PAS 3 Ar PR vor) a 4 #4 = au point (&, Vo 1). + ; Rép. dy,zir — (Or, — r}zay — rÿaz = 0. Re: À 4. Trouver les pquattons de la pese et du plan normal à la courbe FER % UE HP, = 3 + A au Ro (1, —1, >). | RS 7 | 3% 5. Trouver la direction de la courbe | | <È | ASE = Ds T2 re | Fe.

au porn a AT 1). AR ES. ee.

6. Quelle est la direction de. la Jangente à la courbe y— 2x?, x? — J'ausa à : point (0, 0, 4)? Na a EE À 70 - 7. Les équations d’une hélice (spirale) sont En «3 D TR ne Ver: el

Montrer qu’au point (2, 4, 3) les équations de la tangente sont

Ua Ta © @—x)EyG—4)—0, 1e sue 2 UE Le CQy—) AG) = 0; ’ TR que l'équation du plan normal est D: k NP Le RATE L WE y — cz — 2) —0. | 3 8. Une courbe gauche est se par l'intersection du cône D + à AE

= et de la sphère a+ y? +2? — r?, Montrer qu’au point (x1, y, z,) les équations à ro t:«de le langente à la courbe sont

SES Ram) + GE) 2 GDF G A);

F Let que l'é équation du plan normal est

2 $ À : a WZ COLTUSE = bc? + NET et et — briy,z = 0.

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COURBES DE RÉFÉRENCE RAS Se me Pour la commodité du lecteur, un certain” nombre des” courbes Las les plus communément employées dans le lexte ont été rÉuTes CL 6504 : 7 5 À sa Æ en K LES PaRAGOLE CUBIQUES 22 © PaRañorr SEMI-CURQUE. Ce ; 2 M AE y —=0# SEE < = À e à Re ie ee Ne ie PA CR dy = ir Cap.

| Fig. 153,

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