RUE | TOO
#7 d | Fr | Par conséquent, RE et Î ... dx, considérés comme symboles d’opé- __ ration, sont ##verses, ou, si nous utilisons les-différentielles, 4 et Se
sont inverses. Quand d est suivi de ne , ces symboles s’annulent l’un
- l'autre, comme en (D), mais quand f est suivi de 4, comme en (E),
ce ne sera pas le cas en général, à moins que nous ignorions la constante d'intégration.
- La raison de ceci nous apparaîtra immédiatement dans le prochain paragraphe, dès que nous aurons défini la constante d'intégration.
166. Constante ntésration. Intégrale indéfinie. — I] résulte du paragraphe précédent que :
74 g 3 LE 9 ; 2 HER ELU
% puisque dx) —3x°dx, nous avons [3x PLEELE
Fe RE dx + À — 3x*dx, nous avons Je 32? dx = x? +2; à qe: —
ke
# puisque dr Por 32°dx, nous avons PE Sa dx = x — 1. L En effet, puisque d(x° + C)— — 3242; 0ù C est une constante arbi- __ traire quelconque, nous avons
% [Se pre (0.
ne - z
Une constante telle que C est appelée constante d'intégration (®). Puisque nous pouvons donner à C toutes les valeurs qu'il nous
RE te nà a i
intégrale. -elle en a une infinité différant seulement par des constantes. “Par suite, À
frou=ro+c:
0 Ici constante signifie quantité indépendante de la variable d'intégration.
plait, 1l s'ensuit que si une expression différentielle donnée a une.
324 ‘CALCUL INTÉGRAL | et puisque la constante C est inconnue et 2ndéfinie, l'expression f(x) + GC
est appelée l'intégrale indéfinie de f’(x)dx.
Il est évident que si (x) est une fonction dont la dérivée est /(æ), (x) + C, où C est une constante quelconque, est également une fonction dont la dérivée est /(æ). D'où le théorème suivant :
Théorème. — S+% deux fonctions diffèrent par une constante, elles ont la même dérivée.
Cependant, 1l n’est pas évident que si (+) est une fonction dont la dérivée est f(æ), toutes les fonctions ayant la même dérivée /(æ) sont de la forme :(æ&) + CG, où C est une constante quelconque. En d’autres termes, il reste à démontrer le théorème réciproque, savoir :
Théorème réciproque. — 5? deux fonctions ont la même dérivée, leur différence est une constante. |
Démonstration. — Soient #(æx) et (x) deux fonctions ayant la même dérivée f(x).
Posons F(x) = 4(x) — y(æ) ; alors
@ Fa KI) /@—0,
par hypothèse.
Mais d’après le théorème de É moyenne (46), p. 190, nous avons
F(x + A) — F(x) = AxF'(æ +06: Ax). OA F(x + Ax)— F(æx) = 0, / [Puisque d’après (A) la dèrivèe de F(x) est nulle pour toutes les valeurs de x] et F(x + Ax) = F(x), ce qui signifie que la fonction ÆGœ)= (x) — x) ne change pas du tout de valeur quand on donne à æ l’accroissement
Ax, c'est-à-dire que «(æ) et (x) diffèrent seulement par une constante. Dans un cas donné quelconque, on peut trouver la valeur de C quand
on connaît la valeur de l'intégrale pour une certaine valeur de la
variable, ce que nous illustrerons par de nombreux exemples dans le
n à \ DL és MR ri |,
chapitre suivant. Pour le moment, nous nous contenterons d'apprendre à trouver les intégrales indéfinies d'expressions différentielles données. Dans ce qui suit, nous supposons que oute fonction continue à une intégrale indéfinie, proposition dont la démonstration rigoureuse est au-dessus de la portée de cet ouvrage.
Pour toutes les fonctions élémentaires, cependant, la vérité de cette proposition apparaîtra dans les chapitres qui suivent. Dans tous les cas d'intégration indéfinie, la règle à appliquer pour vérifier les résultats est la suivante: /a différentielle de l'intégrale doit être égale à l'expression différentielle donnée.
167. Règles pour intégrer les formes élémentaires classiques. — Le calcul différentiel nous à fourni une zègle générale pour différentier (p. 33). Le calcul intégral ne nous donne pas de règle générale correspondante qui puisse être appliquée sûrement dans la pratique, pour effectuer l'opération inverse d’intégration ( ; chaque cas demande à être traité spécialement et nous arrivons à l'intégrale d’une expression différentielle donnée par notre connaissance préalable des résultats connus de la différentiation, c’est-à-dire que nous devons pouvoir résoudre la question suivante: quelle fonction, quand elle est différentiée, reproduit l'expression différentielle donnée ?
L'intégration est donc essentiellement une méthode d'essais et pour faciliter le travail on a dref$é des tables d’intégrales connues appelées formes types ou classiques.
: Pour eflectuer une intégration quelconque, on compare lexpression différentielle donnée avec ces formes, et si elle se trouve être identique à l’une d'elles, l'intégrale est connue. Dans le cas contraire, on essaie
de la ramener à l’une des formes types par diverses méthodes dont
beaucoup emploient des artifices qui ne peuvent être suggérés que par là pratique. C’est pourquoi une grande partie de notre traité sur le calcul intégral sera consacrée à exposition des méthodes d'intégration des fonctions qui se présentent fréquemment dans la résolution des problèmes pratiques.
On peut toujours dériver une formule d'intégration d’un résultat
quelconque de difiérentiation. Les deux règles ci-après sont utiles pour
(*) Bien que l’on sache souvent que l'intégrale d’une expression différentielle donnée existe, il peut, cependant, nous être impossible de la trouver en termes de fonctions connues, parce qu’il y à d’autres fonctions que les fonctions élémentaires, dont les dérivèes sont des fonctions élémentaires.
ramener des expressions différentielles à de formes classiques d’intégration : #
(a) L'intégrale d'une somme algébrique quelconque d'expressions
différentielles est égale à la somme algébrique des HpAgrAIes dé ces =:
expressions prises séparément.
Démonstration. — En différentiant l'expression
$ [a+ fa fa.
“, v, w étant des fonctions d’une seule variable, nous obtenons
du +- do — dv. D’après IL, p. 38.
(4) ferpeene du far fan
(b) Un facteur constant peuts ‘écrire soit avant, soit après le signe :
d'intégration.
Démonstration. — La différentiation de l'expression
a [do
donne à adr. # .. D’après IV, p. 38.
(2) ARS f'aar= a [ av. |
En raison de leur importance, nous écrirons les deux règles ci-dessus
sous forme de formules en tête de la liste suivante des formes élémen-
taires classiques.
ForuEs ÉLÉMENTAIRES CLASSIQUES.
