CHAPITRE IV DIFFÉRENTIATION

25. Introduction. — Nous allons maintenant étudier la manière dont une fonction varie lorsque la variable indépendante change de valeur. Le problème fondamental du Calcul différentiel consiste à établir la mesure de cette variation de la fonction avec une précision mathématique. C’est en cherchant des problèmes dans lesquels des quantités variaient sans cesse, que Newton (” fut conduit à la découverte des principes fondamentaux de lAnalyse, l’instrument scientifique le plus puissant du mathématicien moderne.

26. Accroissements. — l'accroissement d'une variable qui passe d'une valeur numérique à une autre est la différence obtenue en retranchant la première valeur de la seconde. Un-accroissement de æ est désigné par le symbole Ax, qu’on lit delta æ.'Le lecteur est mis en garde contre la tendance à lire delta fois æ, ce qui n’est pas la signi-

fication. Evidemment, cet accroissement peut être positif ou négatif(®),

suivant que la variable croît ou décroit en valeur. De même,

Ay indique un accroissement de y, A indique un accroissement de », Af(æ) indique un accroissement de /{æ), etc. -

Si dans y — f(x), la variable indépendante æ prend un accroisse-

ment Ax, l’accroissement correspondant de /{æ) (ou de la variable

dépendante y) s’indique toujours par Ay. : | L’accroissement Ay est toujours supposé calculé à partir d’une valeur initiale de y correspondant à celle de æ fixée arbitrairement,

(*) Isaac Newton (1642-1727), mathématicien anglais, fut un homme du plus extraordinaire génie. Il développa la science de l'Analyse sous le nom de Fluxions. Quoique Newton eût découvert et utilisé la nouvelle science dès 1670, son premier ouvrage publié dans lequel elle apparaît date de 1687 ; il a pour titre Philosophiæ Naturalis Principia Mathemalica. Ce fut le principal ouvrage de Newton. Laplace a dit de lui : « Il demeurera toujours préèminent au-dessus de toutes les autres productions de l’esprit humain. »

(*) Quelques auteurs appellent un accroissement négatif un décroissement.

DIFFÉRENTIATION 29 à partir de laquelle Ax est compté. Par exemple, considérons la fonetion

En prenant + — 10, comme valeur initiale de æ, on obtient y —100 comme valeur initiale de y.

Supposons que æ croisse jusqu'à æ = 12, c’est-à-dire que Ax = 2. Alors, y croit jusqu’à y — 144 et Ay — 44.

= Supposons que æ décroisse jusqu'à :æ—9, c’est-à-dire que Aæ——1; y décroit jusqu'à y — 81 et Ay ——19.

Il peut arriver que lorsque x croît, y décroisse ou inversement ; dans l’un et l’autre cas, Ax et Ay auront des signes opposés.

Il est clair également (ainsi qu’on l’a expliqué dans l'exemple

ci-dessus) que si y — f(x) est une fonction continue et que Ax décroisse en valeur numérique, Ay décroit également en valeur numérique.

27. Comparaison des accroissements. — (Considérons la fonction

Supposons une valeur initiale fixée pour æ et donnons à æ un accroissement Ax, Alors, y prendra un accroissement correspondant Ay, et nous aurons

y + Ay=(x+ At),

He y +.Ay — T° + 22 AR + (Ax) retranchant (A), y — 7° (B) | Ay = 2x - Ax+(Aæ).

Nous obtenons l’accroissement Ay en fonction de æ et de Ax. = Pour trouver le rapport des accroissements, divisons (B) par Az ; nous obtenons

Si la valeur initiale de æ est 4, il est évident que

limite Ay 270 At=0 Az ;

Nolons soigneusement la manière dont se comporte le rapport des accroissements de æ et de y quand Faccroissement de + diminue.

VALEUR | NOUVELLE ACCRO SSEMENT VALEUR NOUVELLE ACCROISSEMENT INITIALE VALEUR INITIALE VALEUR

de x de x É de y Pre

RSR DCR RER NES

Éd SE SG S = KO © 00

On voit que quand Ax décroit, Ay décroit également, mais leur rapport prend les valeurs successives, 9, 8.8, 8,6, 8,4, 8,2, 81, «| | . a : A1 A Po r : Ë A 8,01, ce qui montre que au. peut être amené aussi près de 8 que L 44 AT L

nous le voulons, en prenant Ax suffisamment petit. Par suite,

limite AY # He)

28. Dérivée d’une fonction d’une seule variable. — La définition fondamentale du calcul différentiel est la suivante : |

La dérivée (*) d'une fonction est la limite du rapport de. laccroissement de la fonction à l'accroissement de la varicbte indépendante quand ce dernier accroissement tend vers séro.

Quand la limite de ce rapport existe, on dit que la fonction est dif férentiable, où qu’elle & une dérivée. :

La définition ci-dessus peut être représentée symboliquement: comme il suit.

Etant donnée la fonction

considérons æ comme ayant une valeur fixe. Donnons à æ un accrois-

() Lo lecteur doit être mis en garde contre l'erreur belle à qui AT à conclure que si le numérateur et le dénominateur d’une fraction tendent tous deux vers zéro, la limite de la valeur de la fraction (ou rapport) est zéro. La limite du rapport peut prendre n'importe quelle valeur numérique. Dans l’exemple ci-dessus la limite est 8.

(ge Appelée aussi coefficient différentiel ou fonclion dérivée.

| sement Az ; la fonction y prend alors un accroissement Ay, et la nou- velle valeur de la fonction est

DIFFÉRENTIATION

Pour trouver Faccroissement de la fonction, retranchons (A) de

: (B). nous obtenons

‘En divisant par l’accroissement de la variable, A, nous avons

(D) Ay __ f(a+Ax)— f(x)

Are ess y

La limite de ce rapport quand Ax tend vers zéro est, d’après notre définition, la dérivée de la fonction donnée ; on la désigne par le

symbole À.

symbo ee

Par conséquent,

Are dy __ limite f(x+Ax)—f(x) Axe 0x = 0 Ax

définit /a dérivée de y [ou de f(x)| par rapport à x. D’après (D), nous avons également

dy __ limite AY dx Ax—0aAx

La recherche de la dérivée d’une fonction est appelée différentiaion. Ë |

= Il doit être soigneusement noté que la dérivée est la /mite d'un. rapport, et non un rapport de limites. Ce dernier rapport prendrait