Détermination de la constante ina tos au moyen
des conditions initiales. — Comme on l’a indiqué p. 323, on peut
trouver la constante d'intégration dans un cas donné quelconque quand on connaît la valeur de l'intégrale pour une certaine valeur de la
variable. En effet, pour pouvoir déterminer la constante d'intégration, il est nécessaire d’avoir certaines données en dehors de l'expression
différentielle à intégrer. Eclairons ces considérations au moyen d'un exemple.
Éxempze. — Trouver une fonction dont la dérivée première est 37? — 2x +5 et qui prenne la valeur 12 quand æ —1.
Solution. (3x? — 2x + 5)dx est l'expression différentielle à intégrer. Ainsi + (3° = 9r+idr = 22+5r4+0C,
expression dans laquelle C est Ia constante d'intégration. D’après les conditions
du problème, ce résultat doit être égal à 12 quand # —1, c’est-à-dire que
APR LEE C ou D
Par suite, &?— x? + 5x +7 est la fonction demandée.
171. Signification géométrique de la constante d’intégration.
— Nous allons illustrer ce paragraphe au moyen d RS
EXEMPLE L — He l'équation de la courbe en chaque point de laquelle la tangente a pour pente 2%.
Solution. Puisque la pente de la tangente à une courbe en un point quelcon-
que est ce, nous avons, par hypothèse,
var dy 19% dx ou | dy — 274.
| En intégrant y —2 fede, ou, (A) TN y=a? +0, Granvizce, Calcul diff. et int® 23
$ % r in 4 10 CL
es TM NE ET €
Re Vs. y Et ur TL
yes
{ Re N TC te PES TV
ie
x E Dis
PR FR à
È PA se) sà La! L + à je 4 LA SR tr NE Gi ts in x
CALGUL INTÉGRAL De
expression dans laquelle C est la constante d'intégration. TRS
Si, maintenant, nous donnons à C une série de VATOURS, soit 6, 0, —3, nous
avons les équations y A LOST YVES, Re Eee
Les lieux géométriques de ces équations sont des paraboles dont les axes coïncident avec l’axe des y; elles coupent respectivement l'axe des y aux points d'ordonnées 6, 0; — 3.
Ÿ Toutes les paraboles (A) Gil y en a un re infini d ont la même valeur pour re c’est-à-dire qu ‘elles ont la S aT
ce même direction (ou pente) pour la mème valeur de +. Ÿ On notera également que la différence dans les longueurs de leurs ordonnées reste la même pour toutes
les valeurs de +.
Rs Par suite, toutes les paraboles peuvent être obtenues 2 en déplaçant verticalement l’une quelconque d’entre
à 7 tlles vers le haut ou vers le bas, la valeur de Cn'affee- NZ tant pas. dans ce cas la pente de la courbe. -
Si dans l'exemple qui précède, nous imposions la.
/ condition supplémentaire que Ja courbe passe par le
- point (4, #4), les coordonnées de ce point devraient
Fio. 193 -alors satisfaire à à (A), ce qui donnerait ]
= 1vu, =
4 —=4 +4 G, "où = 3, 2
Par suite, la courbe particulière cherchée serait la parabole y — x? +3, 2 ExEmpLe Il. — Déterminer l'équation d’une courbe telle que la pente de Ja
tangente à cette courbe en un point quelconque soit. Le RpOrE changé de signe de l abscisse à l'ordonnée.
Solution. La condition du problème est exprimée par De de dy LES de
ou, en séparant les variables, ydy = — xdx.
En intégrant, il vient
ÉRTNTE 2 Dia à ou 2? + y? —= IC.
Cette équation représente une série de cercles | concentriques ayant leurs centres à l’origine. Si, 7 2 Fest
de plus, nous imposons la condition que la courbe doit passer par le point C3 A pt alors :
Dati 20:
Par suite, la courbe particulière demandée est le cercle. t + y? Sn
Les trajectoires orthogonales d’un système de courbes sont un. #
ASS E Es
