CONSTANTE D’INTÉGRATION

Par conséquent, (E) donne

dx dy — — Un COS a ‘et 2 ——gtiv sine

ou dx = vocosadt et dy— —gtdt+v, sin adt.

En intégrant, nous obtenons (F) & —.Vp COS à + t+Cs et y——;îg+vsina.t+C.

Pour déterminer €, et C,, nous observons que quand

J | RU MER UE et y = (0:

La substitution de ces valeurs dans (F) donne

- = Ce — = 0 el G= — ne Par suite,

(G) | É Ve et (H) y—=—igP+rvsine:t.

En éliminant { entre (G) et (H), nous obtenons I ee pig ee dE o £ 32 dv? COS? à +

‘ formule qui est l'équation de la trajectoire et qui montre que le projectile se

déplace suivant une parabole.

EXEMPLES

1, Les expressions suivantes ayant été obtenues en différentiant certaines fonctions, trouver la fonction dans chaque cas pour les valeurs données de Ê

variable di de la fonction :

Dérivée L Valeur Valeur correspondante

de la fonction. de la variable. de la fonction. MS (a) æ —3. Lu PEN AR D Be +43.

(b) 3 + æ — Ba. eve %, 304 + 37 4 . .

(ce) y — by. 2 0. DU +0 re __. (d) sin a + COS à. . k DA RE sin œ — COS a + À. { | ns :

| = — ——. E 0. log (2€ — t?).

OPTRE SERRE EI 8 ( ) (f) sec? 0 + tg 0. SEEN | PRES 5, en sec 0+5. { Tr DRE, | NE FALCUS À Ca (9) rte Pe a. Se arc (g - Rae (H) ba +ar+k | b. 10.

@ Vt+ Fe RNCS. L. 0.

t 3 (ÿ) cotg + — cosec? +. 3.

(k) et. 0. .

. UE PE ISPRE CALCUL INTÉGRAL. PMR

: Dre 2. Trouver les équations du système de courbes ve que la pente de Le tan- s 6 é gente en un point quelconque EAN - PE DR ; ÿ (a) æ. 2 BETA Paraboles, TC AE : Ps ee Ée. 3 2 (b) 2x —9, Paraboles, Pare - de + C De (ra < A : RAS (c) + Paraholes, © nt G ? à sue à ‘1 Ë (d) x Aie Le + È Ê ; É #4 Tr) ui CARS Paraboles semicubiques, L= D + G: #7 ; jé 1 | (f) 3x? Paraboles cubiques, y= a + fe Ph F4

ne Lg} 2? FLAN TES * Paraboles cubiques, y=È Le LASER

(h) & ; Paraboles cubiques, Pa r+C PAR ee @) 26 5 ne Hyperboles ie = te U AS 4 | = ES : Me LE LATE

+ (J) Er Pas : Hyperboles dure +y = C. EE ; + {12

É (k) es HYRESAIeS DATE > re Ce ch - Fe 4 k F Ê * : ax 9. à PES 2.5 ay \ < té 3 rh Se LS (D). Ha Ellipses, b? De + ax €. re PR.

: | (m) xy. log y = +0 ou y=e. DURS are 2

| OS E ““logy= à +0, ou y = ce. Ce La ER Re 3% #5 (0) m. Droites, y = mx + C. rs HEAR

CROSS (p) re, re Cercles, 4? + p? + 2x - a Re C0. LES RCE — 1 : < : cs . +. LA k F. 8. Trouver les équations des courbes des- systèmes Lrouvés dans Lex. 9 QG. ne . as (d), (), G), (m), qui passent par le point (2, —1).. l :

‘2% | “= he (a) de 0 (mn) y=—e ne ete.

A | 4. Trouver fée équations des courbes: des systèmes trouvés dans l'ex. 2 2

©:G); 0, @, @} qui rassent parlorigine | DA. 755 j ee Rép. (b) y = 2° — dr: O1 y= mx; La ss

5. Trouver les équations des trajectoires GONARRCES des systèmes de courbes | ci- “après, trouvés dans l’ex. 2:

+ de

D = 86, Ex 2 (a. Das

-(b) D =x+0, Ex..2-(c)..

‘ S < £ £ a x = Le l È s « - \ € “ 2 : j z NE 07 21e 5 & DE 77 = x + sn = dE ss és ie $ ” Fe Pa Ru See e 7er PR RP AT ES RS pe à De. De 27 0 à

du point de contact. Rép. x

CONSTANTE D'INTÉGRATION 359 @) & = +0, Ex. 2 (à) Rép. log y = L+C.

: T (@) je —%—(, Ex: ZAC) dy=—= C:

(6) æy —G,; Ex. 2 (N). y? tt.

ray ce Rx:9: (ni) L — — x +, (9) y = mx +0, Ex..2 (o). mu C:

(h) 2? + y? + 2x — dy + C—0, Ex. 2 (p). y— 4 = er +1). 6. Trouver l'équation de la courbe dont la sous-normale est constante el égale à 24. Rép. ÿ* — sax + C, une parabole.

NOTE. — D’aprés (4), p. 86, sous-normale = y 97 - : d£

7. Trouver la courbe dont la sous- tangente est constante el ég gale à a [voir

(3), p. 86]. Rép. a log y = & + CG.

8. lrouver la courbe dont la hs est ne. à Le du point de contact. | Rép. ÿ° —

9. Trouver la courbe dont la normale est constante (—R), en supposant que y=R quand x —(. S Rép. x? + y? — R?, un cercle.

È ce x L NOTE. — D’après (6), p. S6, longueur de la normale =n\/ +(E) ou, de = +(R2—72) 2ydy.

10. Trouver la courbe dont la sous-tangente est égale à trois fois l’abscisse

- 41. Montrer que fa courbe dont la sous-tangente polaire [voir (7), p. 96] est

constante est la spirale réciproque.

12. Montrer que la courbe dont la sous-normale polaire [voir (8), p. 96] est constante eët la spirale d'Archimède. |

43. Trouver la courbe dans laquelle la sous- -normale polaire est proportlionnelle à la longueur du rayon vecteur. Rép © —:cet,

44. Trouver la courbe dans laquelle la sous-normale polaire est proportionnelle au sinus de l’angle vectoriel. | Rép. p—c— a cos0.

15. Trouver la courbe dans laquelle la sôus-tangente polaire est proportionnelle à la longueur du rayon vecteur. Rép... p = ce.

16. Déterminer la courbe dans laquelle la sous-tangente polaire et la sousnormale polaire sont dans un rapport constant. Rép. p — cet.

17. Trouver Péquation de la courbe dans laquelle Fangle formé par le rayon vecteur et la tangente est Ia moitié de l’angle vectoriel. Rép. g = «(1 — cos b).

18. Déterminer les courbes dans lesquelles la sous-tangente est égale à n fois la sous-normale et trouver la courbe particulière qui passe par le point (2x3):

, | Rép. ny = x+ C;yn@—3)—=x—2.

19. Déterminer les coUthes dans lesquelles la longueur de la sous-normalé est proportionnelle au carré de l’ordonnée. = "Rép: y = ce".

#4 ; mn

360 CALCUL INTÉGRAL : Pa *

20. Trouver les courbes dans lesquelles l'angle formé par le rayon vecteur et - la tangente en un point quelconque est égal à n fois l’angle vectoriel. Rép. ep" — csin nb.

- En supposant que v = v, quand #— 0, trouver la relation existant entre v et f, sachant que Paccélération PsLS