CHAPITRE XXIV

, DS | L'INTEGRALE DEFINIE | 173. Différentielle d’une aire. — - Considérons la fonction Con- 2 linue £:(r) et soit i | Pre ar} Re | 3 l’équation de la courbe AB (fig. 197).

Soit CD une ordonnée fixe et MP une ordonnée variable et soit à 4 la mesure de l'aire :CMPD(®). Quand “€ æ prend un accroissement suffisamment petit Ax, « prend un accroissement Aw(— aire MNQP). En complétant les rectangles MNRP et MNOS. £.

nous voyons que | L aire MNRP aire MNOP < are ARE | # NE MP. ee Au< NQ: Aæ ; e.

et, en divisant par A+, | ‘4 Au | : 724 MP< << NO CO | 4 Maintenant, faisons ne Aæ vers zéro ; puisque MP reste fixe et. que NQ tend vers MP comme limite de étant une fonction continue de +), nous obtenons :

du | “4 À dx a) 108 . | 4 | 3 ou, en faisant usage des différentielles, z CA du = ydx. 1 () Nous pouvons supposer cette aire engendrée par une ordonnée variable partant de CD et se. é. déplaçant vers la droite. Par suite, u sera une fonction de æ qui s’annulera quand æ = a. 4 @*) Dans la figure 197, MP est moindre que NQ; si MP arrie. à être plus grand que NO, on RE ‘renverse purement et simplement les signes de l'inégalité. ne.

a \ AT:

a Le \ d :

L'INTÉGRALE DÉFINIE 363 - Théorème. — La différentielle de l'aire limitée par une courbe quelconque, l'axe des æ et deux ordonnées est égale au produit de l'ordonnée limitant la surface par la différentielle de l'abscisse correspondante. | 174. L'intégrale définie. — Il résulte du théorème du paragraphe précédent que si AB est le lieu géométrique de : | y== x); ee alors - du = ydx,

OT ANT LE > du eur;

relation dans laquelle du est Ia différentielle de l'aire comprise entre

la courbe, Paxe des æ et deux ordonnées quelconques. En intégrant : (A), nous obtenons | : D es | (r)dæ.

Puisque (x)da existe (elle est représentée géométriquement 101 >. par une aire); désignons-la par f(x) + C.

D) ee °...u—/(@) +0 Be -- - Nous pouvons déterminer C comme au chapitre xx, si nous connaissons la valeur de # pour une certaine valeur de æ. Si nous

convenons de compter l'aire à partir de l'axe des y, e’est-à-dire quand

(C) 0.24 4u--=are QUDD:

et quand

LU u — aire OEFG, elc.,

-il en résulte que st,

Fig. 198.

: 28 LES (D) te O, DES 7 En substituant (D) dans (B, nous obtenons : D Oo Cf)

Par suite, d'après (B), nous obtenons

re . u=f()—f0).

LS te 2 ED AE ER ee

ce qui donne Paire à partir de l’axe des y jusqu'à une ordonnée quelconque (telle que MP).

Pour trouver l'aire comprise entre les ordonnées CD et EF, substi- :

tuons les valeurs (C) dans (E), nous obtenons

(F) aire OCDG — (a) — f(0), (G) aire OEFG = ÿ(b) — f(0).

En retranchant (F) de (G), 1l vient

(H) aire CEFD — #(b) — f(a). (*)

Théorème. — La différence des valeurs de fus DOUPIL= =

el æ—4 donne l'aire limitée par la courbe dont l'ordonnée est y, l'axe des X et les ordonnées corr Re à x—=« et X—0:.

Cette différence est réprésentée par le PyPR ROIS to (1) p YA OU J (2)da.

qui se Hit «somme de à à 4 de ydx» et qui désigne soc de a à à de ydx.

L'opération est appelée intégr ation entre les limites a et b, a 1 étant la limite (9) enférieure et D la limite supérieure.

Puisque (D) a toujours une valeur définie, on l'appelle une #ntégrale définie; car, si | |

IECTETICE

on à, [scan — |f(x) + CL se = |f0)+ 0] — (0 +0:

ou : [rod fo—ro

la constante d'intégration ayant disparu.

(*) Le lecteur devra observer que dans la présente hypothèse, f(x) est une fonction d’une seulé AU (one uniforme) qui varie d’une manière continue de /f(a) jusqu’à /(b) quand x varie

(**) Cette notation est due à Joseph Fourier (1768-1830).

(**) Le mot limite, dans ce eas, signifie simplement la valeur de la variable à une extrémité de son intervalle (valeur extrême) et ne doit pas être confondu avec la signification du même mot dans la théorie des limites. -

En conséquence, nous pouvons définir le symbole

3 | 2 b ; | (x)dx ou fe ydæ a | a

comme la mesure numérique de l'aire limitée par la courbe y=x)®), l'axe des X et les ordonnées de la courbe en x — a

el æ—=b. Cette définition suppose que ces lignes limitent une aire, c'est-à-dire que la courbe ne s ie pas ou ne descend pas à l'infini et que a et b sont frs.

Nous avons montré que la valeur numérique de l'intégrale définie est toujours /(2)— /(a), mais nous verrons dans l NE 0 2, p.314,

‘que f(b)— f{a) peut être un nombre quand l'intégrale définie n’a

pas de signification. :

175. Calcul d’une intégrale définie. — La méthode peut être résumée comme il suit:

1 opéRaTION. — Trouver l'intégrale are & l'expression

différentielle donnée.

2e OPÉRATION. — Substituer dans cette entégr ale indéfinie d nn “d la limite supérieure et ensuite la limite inférieure de la variable et soustraire le dernier résultat du Premier,

Il n’est pas nécessaire d introduire la constante d intégration,

- puisqu'elle disparaît toujours dans la soustraction.

r A G EXEMPLE |. — Trouver / a?d#.