JE Ty zdxdy Rat
l œ RL + VI CORE MR 2 2 ; Ge sa 1 ; LE didyu = Se ml + €.
SAC abc x de fà 5a (x? + y? + 22) dzdydx — Far + b?2 + c?). £ ' Li L 9 F, ; rh <
ue [Var — 2 dxdy — 66.
Qe/ y
Bof [7 rte 4 =
219. L’aire plane considérée comme une intégrale double
définie. Coordonnées rectangulaires. Comme application simple du théorème du paragraphe précédent (p. #65), nous allons maintenant déterminer par double intégration l'aire de la région S elle-même dans le plan XOY (°)
(fig. 245). : dE
Comme précédemment, türons des lignes parallèles à OX et à OY aux
| être résolus au moyen d’une simple intégration par des méthodes déjà expliquées. La seule raison,
D. o Quelqués-uns des exemples qui seront donnès dans cet article et dans les suivants peuvent
en pareils cas, d'employer l'intégration successive, est de familiariser le lecteur avec une nouvelle méthode de solution qui est quelquefois la seule possible. | ue / * : =
distances respectives Ax et Ay. Considérons maintenant un des
rectangles formés de cette facon ; nous avons alors
élément d'aire — aire du rectangle PQ — AY: Aæ,
les coordonnées de P étant (æ, y). Désignons par A l'aire totale de la « région S; nous avons, en utilisant la notion de double sommation, *
limite A À — Ax — Ay - Ag.
(à) EC DE CA
PA
Nous calculons cette expression d’après le théorème de la page 165,1 h
en posant /(æ, y)— 1 et nous obtenons (B). é A | 0 dydæ,
expression dans laquelle CD et CE sont sénéralement das fonctions de æ, et OA et OB des constantes donnant les valeurs extrêmes de æ, ces quatre quantités étant déterminées d'après lés équations de la courbe où des courbes qui limitent la région :
Il est intéressant d'interpréter géométriquement cette intégrale double en se reportant à la figure. Quand nous intégrons d'abord par rapport à y, en considérant x(— OC) comme constant, nous addi-
RE, D TR ES eh DS à
tionnons tous les éléments d’une petite bande verticale de surface (telle … que DF). Pour intégrer ensuite le résultat par rapport à æ, nous .
additionnons toutes les petites bandes de surface verticales comprises dans la région et cette opération donne évidemment l'aire totale de la région S.
Si nous changeons l’ordre d Hiéeration nous ayons
OL APHI ë (C) ie pe dxdy,
expression dans laquelle HG et HE sont généralement des fonctions de y, et OK
extrêmes de y, ces quatre quantités
de la courbe ou des courbes qui Himitent la région S (Ag. 246). Géométri-
étant déterminées d’après les équations
et OL, des constantes donnant les valeurs
quement, cette relation signifie que nous comménçons d’abord par sonmer tous les éléments d’une petite bande horizontale de surface
INTÉGRATION onscrne ET PARTIELLE | 469
| (telle que GJ) et qu’ensuite nous trouvons l'aire totale en additionnant L'ioutes ces petites bandes de surface à l'intérieur de la région. 4 La notation et les figures ci-après (/g. 247 et 248) qui correspondent aux deux ordres de sommation (intégration) qui précèdent, sont quel= | quefois LR |
PO a de dydz, ‘A— . dxdy.
‘) S a LENS /
Fig. 247.
En nous reportant au résultat énoncé p. 465, nous pouvons dire :
L’aire d'une ré jion quelconque est la valeur de l'intégrale double de la fonction f(x, y) —1 prise dans l'étendue de cette région ou. également, d’après le $ 217, p. 460,
L'aire est numériquement éqale au volume d'un n cylindre droit à ayant pour hauteur l'unité et élevé sur la bases.
ge +
N re na (fig. 249).
Solution. En additionnant d’abord les éléments suivant une petite bande verticale de surface, nous avons d sure, La p. 468,
Poe "dydr.
D’après et de la courbe de démarcation (cercle), nous obtenons | MR —yr2— x, MS——14ÿ/7r?— x?, OB— — pr, OA TR
“y Par suite, | A= f + Fee dy por ya AR dx — 712. Réponse.
re r2— 2 —" ,
: Quand la région Let on veut trouver l'aire ii symétrique par
Exeurte 1 1 — Calculer Paire du cercle x? + y? = 7? par doûble intégration
470 CALCUL INTÉGRAL à
’ 6 £ C0 rapport à l’un des axes de coordonnées ou par rapport à tous les deux, 1 74 on simplifie quelquelois le travail en calculant seulement l'aire d’une ss partie de la région. Dans l exemple qui précède, nous pouvons choisir nos limites de, façon à Re seulement un quart de cercle et mul- 1
À plier ensuite le résultat par 4. Aïnsr, | à 1 M A r ra ss ; LE EME CAT EUX RES UN A T2 | 4 LE TT — | dydx = = [l \/7° — X° ou » | 40 Î 0 «/0 0 | 4 ‘4 45e PART. Réponses
Exempze IL — Leu la portion d’aire qui est située au- -dessus de OX et
limitée par la parabole semi-cubique y? —z* et Le e ligne droite y —x (fig. 250). l
Solution. En additionnant d’abord les éléments suivant une petite bande horizontale de surface, nous avons RARE (C), p. 468,
A 4 “. * drdy. de
D'après l'équation de la EE AB — y et d'après
Fig: 250.7 -2x l'équation de la courbe, AC ps. en AA AA cune de ces équations par rapport à +. Pour déterminer OD, résolvons les deux équations simultanément afin de trouver le point * d’intersection E. On obtient ainsi le point (1, 1); par suite, OD —1. Donc,
À == fe je taupe ROTEE EE
î «1 ; —}—;=—;. Réponse.
EXEMPLES 4. Trouver par double intégration l'aire comprise entre la droite OA et la parabole ayant pour sommet 0, pour axe OX et passant, comme Ve par le point.
a ab Rép. ra “due =D.
2. Trouver par double inter AGDE l'aire comprise entre les deux paraboles 3% et 5x? — 09. … Rép. 52
3. On demande l’aire qui se trouve comprise dans le premier quadrant, entre la parabole y?— ax et le Certle y? = 2ax —x?. | ra? 20 : | è Rene 3
4. Résoudre les problèmes 2 et 3 en sommant d’abord tous les éléments sui-
* les bandes horizontales. -
e Dr;
vant une petite bande horizontale de surface et ensuite en additionnant toutes Pa ra?
/ » day = 2.
ha =Va2- y? Ur LS Re
De = à SE, Jo 020 SRE
5. Trouver par double intégration les aires limitées par les lieux géométriques
ci-après :
ES y Fi dpe 4 Ni be (a) DAY AE, LE Yy A. Rép. ra MNOPLENEPER ETES. HE or … Fe (c) y—=sin æ, y = cos v, æ — 0. * | EU mes.
È Late * e- - à RE, à nel SCC EPA ER PT Us ar — 1). | MT. 2 2 | D NOTE | CMP EEUE NT EE y 2 d: HERO 2 39 PYy=x+A, ph — 2. Vs | | (9) y? = 40? — 22, y— 4 — Lax.
UNE SERRE , « 2 QUE a, = —.
Es (1 à CR) 2 — y — 14, 22 + p? = 36, __. 220. L’aire plane considérée comme une intégrale double oordonnées polaires. — Supposons que les équations de
définie, C
UE, pr PR LS
RSS APE.) ST ir de AD
la courbe ou des courbes qui limitent __ la région S soient données en coor- Nr données polaires (fig. 251). La région
limités par des lignes radiales menées par l’origine et par des cercles concen- X triques ayant leurs centres à l’origine.
Posons PS — A; et angle POR— A6.
Alors arcPR—£A6 et la surface du
. carré ombré, considéré comme un rectangle, est £A6 : A5. La somme des aires de tous les carreaux de la région est
