DATE A
Comme l'aire cherchée est évidemment la limite de cette somme, __ nous avons la formule : | A
At [ fLpde - de.
Ce S
peut alors être divisée en carreaux 2%
LT 5 Ra ME,
dément employées: 6
472 JE ‘CALCUL INTÉGRAL Fer 4 lei, encore, la sommation (intégration) peut être effectuée de deux manières. 1 À AE «4 Quand nous intégrons d’abord par rapport à 9, 9 restant constant, ” cela signifie que nous additionnons tous les éléments (carreaux) con- » tenus dans un segment d’un anneau circulaire (tel que ABCD) et en intégrant ensuite, par rapport à &, que nous additionnons tous les anneaux contenus dans la région entière. Les limites se présentent dès lors comme 11 suit : : te
| OF. Prangle XOB Ne ‘14 (B) Aie J cdbde ; | "4 OE angle XOA ; ; 74
les angles XOA et XOB étant généralement des fonctions de », et OE | et OF des constantes donnant les “valeurs ‘extrêmes de ».
Supposons, maintenant, que nous renversions l’ordre d'intégration.
Intégrer d’abord par rapport à &, 6 restant constant, revient à additionner tous les éléments (carreaux) | contenus dans une petite bande en . forme de coin (telle que GKLH).
Intégrer: ensuite, par rapport à 6, revient à additionner toutes les, petites bandes contenues dans la région S (fig. 252). ci,
he angle XOI OH (CRE A= fe | ed - di,
angle XOJ O0G
OH et OG étant généralement des fonctions de 6, et les angles XOF et NOT étant des constantes donnant les valeurs extrêmes de 0.
. Correspondant aux deux ordres de sommation (intégration), la notation et les figures ci-après ({g. 253 et 254) peuvent être commo-
(D) A= ff ede- di. Az f fic: de. ANT : S e7S i
Aie LA NRC CESS :s k 3e | ’ A Her Meet à 0 / le, S f î
Le LA ar INTÉGRATION SUCCESSIVE ET PARTIELLE 413.) 200
| On se nvirlts facilement de ces formules, si nous considérons i He élémen ts (carreaux) de l'aire cherchée, comme étant des rectangles do
de dimensions 55 et de, et par suite d’aire 40 - de. LEUR e.. 4 EXEMPLE. — Trouver l'aire du cercle & — 2r cos 0 par double intégration 1:14 Rs (fig: 285). AAA | ‘ 1 2RSS Pat Solution. En additionnant tous les éléments : ï ER. x contenus dans un secteur (tel que OB), les 8 limites sont 0 et 2r cos 0; et en additionnant tous LA À . ces secteurs, les limites sont 0 et . pour le demi- ‘4 cercle. OXB. En substituant dans (D) il vient | 220 4 A = 2r cos | rr? ÿ EN k. . — 2 cds - = — LES < à ou A = xr2, Réponse. d: Ni [! V Y? et | EXEMPLES :
3 À | 4 “ei D 4. Dans l exemple ci-dessus, trouver r aire en intégr ant par rapport à 0. if ARE 4 T2, No nVeL par double intégration l'aire entière dans les exemples 4-16, pp. ». 426, 497.
id sen par double intégration l'aire de la partie de la parabole & — a sec?— ù interceptée entre la courbe et la perpendiculaire à l’axe qui a pour abscisse le paramètre. 4 Ur 0 3 «1 Re LR CHR EE Rép. 2 Ie 2.cdo+ d9 — ba .
‘4% Sata CS ne TR 0 0 4 5 4. Trouver par double intégration l'aire comprise entre les deux cercles . à À ce = acos 6, p— b cos 9, ba; intégrer d’abord par rapport à à p ie. ; Rép: 9 de fa "ed - RU ue EG à, é # AA MTS EN NL SAN + acosf rx 16e 5. Résoudre le ‘problème précédent en intégrant d’abord par rapport à 0. ; 6. {rouver par double intégration Faire limitée par les lieux géométriques A ci-après : | ‘à #15 NN Pa (a) D 0 sin 0, e —12 sin 0. ; Rép. 277. : < 108 ‘je 5 x À 4 vers Q a + FAUE 200804, EL RS Se 2e 46/3: 4000 | DÉNE FOFEOURP ER PRES NE 6 PR ER D HAT L LT ue 3 A A @ e—a( + cos B), e— 2a cos 0... | es ’ 6 à 11 #07 ©) © sin 0 — b, Das 10. ù APRES là 2 4, TES | LD De SCD LE LOS VE 2 LN UT | | NAN 00 ….(g).e —=20cos 0, p—8 cos. RUN L P k e é ÿ se ' 108 1" : -i t ” ae * Fi w c à À © RE, à À
D: A4: CALGUL INTÉGRAL
D. 221. Moment d’aire. — Considérons un élément d’aire de la
à région S, tel que PQ (/ig. 256), les coordonnées de P étant (æ, y). A
(= AyAx) par la distance de P à l’axe des Y(= x), nous obtenons le produit
(A) æAyAt,
par rapport à l’axe des V. Formons un
sonne, SA or
limite rt (B) A0 ND xAyAx .
définit le moment d'aire de la région S par rapport à l'axe des y. En désignant ce moment par M,, nous obtenons O J
(C) | Rs, xdydx,
pour trouver Poe De même, si nous désignons par M, le moment d’aire par rapport à l'axe-des-æ, nous obtenons
Pi oi ee = ff dax) Ve
les limites étant les mêmes que pour (0).
point (x, y) donné par les formules
aire aire
(E) | Te
() D’après le résultat de la page 465, nous pouvons dire que M, est la valeur de l'intégrale
quand'f(RY)=ÆE
qui est appelé le moment de l'élément PQ
Fig. 256. produit semblable pour chacun des élé- | ments de la région $S et additionnons tous ces produits par une double, sommation. AIR la limite de cette
à 222. Centre d’aire. — Le centre d'aire est défini comme. étant le
double de, la fonction f(x, y)=7y prise dans l'étendue de la règion. De même, My est la valeur.
En multipliant l'aire de cet élément
les limites d intégration étant déterminées de la même manière que
INTÉGRATION SUCCESSIVE ET PARTIELLE À LE É | | | , où ( | | à
D ess fe 0
… D'après (E). aire x = M, et aire. y —=M.. | ” à F Par suite, st nous supposons que l'aire d'une région est concentrée bten (x, y), les moments d'aire Par rapport aux axes de coordonnées demeurent invariables. |
Le centre d’airé d’un plateau homogène minée ou lame se confond : 22.
avec son centre de masse (ou centre de gravité). * Si un axe de coordonnées est un axe de symétrie de Faire, il est. évident que la coordonnée correspondante du centre d’aire est nulle. En coordonnées polaires æ =» cos 6, y = 6 sin 6, et l'élément d’aire 1 : —9pApA6 remplace AyAx. Par suite, les formules (F) deviennent
fFremse cos BdpdB Fe ffr'sinea Fe sin 6dpdB | <
) Y — ) J À ff papas … ffraras Re Fe
les lies étant les mêmes et déterminées (comme précédemment) de la même façon que pour trouver l'aire.
Exempe. — Trouver le centre de l’aire limitée par y? —4x, r—4, y—0et pt située au-dessus de OX (fig. 257). | MU:
Solution. D'après (C), p. 474,
M, ans Fe ir à
D’ après (D), p. 474,7
| SCENE ee bd es 39 & k: | | Aire — ludx = °£, en FE Fig. 257. EN ( L 54 jh Co - 550 E En substituant dans (E), p. 474, il vient CHROME L à : EUR RE D ODAAD ES CR ARR A | à t 10: RE. ; REP T AN ARE D ANT |
+. (@) Si le Diatane est supporté librement par un-axe horizontal passant par son centre de gravité, +: e n’aura aucune tendance à tourner, quelle que soit la position du plateau. AE il
M. — Hd Hire | LA so
CALCUL INTÉGRAL EXEMPLES ne 1. Trouver les centres des aires limitées par les lieux géométriques ci-après : + . rw (a) le quadrant d'un RAP LÉ = Ni (b) le quadrant d’une ellipse. æ — 1 D — (c) y = sin ?, y —0, depuis x = 0 jusqu'à x — 7 Es y = a ‘ 2; 2 2 : AT 44 | TE — : 286a — y —q? 5 = AU: DH.
(4) un gussrent de x? +y 345: = Ÿ 4 + 3 + (er Esdar; Th T— ed y —=0 DyIZUYyZd, 13. RULES :
(DE 82 y =; y 4-0: = VAS = 1,4 (h) (a — x)y? = x, x — 2a. L = %, yet ë | VE A Q) ce — L*) — ur" G nee | LT — 5 = 0. à a T° | ÿ | es G) a+ y2 ut, 0, y—0 B= =.
(&) Cycloïde D a(8 — sin 0), y—= a — cos 6). LR V= “e. 2. Trouver les Centres des aires limitées par les courbes ci-après | (a) Une boucle de £ 2 cos 26. T= x y—=0.
(b) Un ne boucle de & 4 sin 29, | z— 1284 ES À 1057 :
(ec). Cardioïde 5 — a(i + cos CRE ; æ = , 1) (d) p—6 sind, p—19sin0. + (f) e—Beos0,pcos0—2 : À (e)pCoSB— 4, po —8. p = cos 0, p—8 cos.
