Trouver I, pour la lemniscate 2 — ac cos 2). ; RE ra

42. Trouver L et 1, pour l'aire limitée par 9? — 4at, y—0 CLR Hans À x, We DA ETRRER fi R é Li et ! ] — AIT és, RARE 43. Trouver le moment d'inertie de l’aire d'un triangle rectangle par rapport au sommet de l'angle droit, a et b étant les longueurs des côtés de l'angle droit.

ao 3 Reg: Ho +0

14. Trouver |; pour l'aire limitée par = 44%, e+y= FS = 3a, Y—= ü”

Rép. tee = H ds.

45. Trouver le moment d'inertie d'un rectangle dont les côtés sont 24, %, par rapport à un axe passant par son centre para éenL au côté 2b ; au côté 24.

Led" 072008 Rép: 4° à 6 Fa a 16. Trouver [; pour 2 EYE —\4? : | 4 Rép. 2 A à | MERE 512:

17. Trouver |, pour l'aire d'une boucle de £— a cos 20. SANDER

226. Méthode générale pour trouver les aires des surfaces. — La méthode donnée au $ 213 pour trouver laire d’une surface

| Fe, Ne À 4 LT | 4 INTÉGRATION SUCCESSIVE ET PARTIELLE - 481 3 ” s'applique seulement aux surfaces de révolution. Nous allons main- 0

tenant donner une méthode plus générale. Soit (A) s—/C, y) l'équation de la surface KL dans la figure 263 et supposons qu'il soit demandé de calculer l’aire de la région S se trouvant sur COLLé Énridcer.! 5e Désignons par $S la ré- < 7 gion du plan XOY qui est ‘3 la projection orthogonale de S’ sur ce plan. Mainte- \ nant, faisons passer des | » | Fig. 263. plans parallèlement à YOZ E et XOZ aux distances res- . pectives Ax et Ay. Comme au $ 217, ces plans forment des prismes . tronqués (tels que PB) limités au sommet par une portion (telle que PQ) de la surface donnée dont la projection sur le plan XOY est un rectangle d’aire AxAy (tel que AB), lequel forme également la base inférieure du prisme, les coordonnées de P étant (x, y, 2). Considérons maintenant le plan tangent en P à la surface KL.

Evidemment, le même rectangle AB est la projection sur le plan XOY se de cette portion du plan tangent (PR) qui est interceptée par le prisme . PB. En supposant que y soit l’angle que le plan tangent fait avec le plan XOY, nous avons 4 aire AB — aire PR . cos , 34 F [La projection d’une aire plane sur un second plan est égale à l’aire de la portion projetée 5 : 33) multipliée par le cosinus de l’angle formé par les deux plans.] É IAA TENR AœAy — aire PR . cos +. ‘A | Mai se COS + — Re nv RCE VE : 10 c. Mais, ie =; 5 $ | | dg \? dog\?T 2 k | | HAN OT dy 100 [Cosinus de Pangle formé par le plan tangent, (72), p. 308, et le plan XOY trouvé par la méthode | # | donnée en géométrie analytique dans l’espace.] LE

Granvie, Calcul diff. et int, HART ANR RTS

1 | aire PR s A F: par suite, AYÂD Er TP EL EE | 14 A F0 D |

- Ho ) 4e he | F2 Tel À dy ; FEES

. " iv d g\ 2 = 3104 cs ou airePR=|1+(—) + ee AyAæ, 4 4 0X dy 1 6 que nous prenons comme élément d’aire de la région $’. Nous défi- . êt 5 . . f . +.

“. nirons ensuite l’aire de la région S’ comme ‘4

De limite >z AS ‘3 - * Ay= 1 Re en - ; ADI se er ER ne |

la sommation s'étendant à la région S, comme au $ 217. En désignant 7 par A l'aire de la région S’, nous avons

é | OZ MAO NT

D © = ose

les limites d'intégration dépendant de la projection sur le plan XOY

de la région dont nous voulons déterminer l'aire. Ainsi pour (B)

nous choisirons nos limites d’après la. courbe ou les courbes qui.

>: limitent la région S dans le plan XOY précisément comme nous …

414 l'avons fait dans les quatre paragraphes précédents.

o S'il est plus commode de projeter l'aire cherchée sur le plan XOZ, on emploie la formule

dans laquelle les fans sont trouvées d’après la ligne de démarcation | de la région $S, qui est maintenant la projection de l'aire cherchée à sur le plan XOZ. | à $ De même, nous pouvons utiliser | RES