Moment d'inertie polaire. Coordonnées polaires
et que x? +? —£?, nous obtenons par substitution dans (E),
(H) 1 — [ [ p'dpe,
les limites d'intégration étant les mêmes que pour trouver l'aire. -
Puisque lélément d'aire (—AyA\x — AsA6) est essentiellement positif et que æ?,.y?, P? sont toujours
positifs, il en résulte que le moment d'inertie n’est jamais nul, mais
toujours un nombre positif. Les moments d'inertie se présentent fréquemment dans les problèmes du génie, la principale sont étant le gaie de l'énergie d’un corps qui tourne.
EXEMPLES
1. Trouver |, pour la surface limitée par les lignes Re di UE rs à (ig. 261). | Û
(*) Nous pouvons alors dire que I, estla valeur de l'intégrale double de la: fonction (&,: 7} = 2° 24 ÿ? prise dans l'étendue de l'aire.
Comme l'élément d’aire est alors 5A0A9
Solution. Ces lignes déterminent un triangle OAB. | En additionnant"tous les éléments contenus dans une bande verticale (telle que PQ), les limites de y
sont 0 et ? x (trouvées d'après l'équation de la ligne a
OB). En aaditionnant toutes ces bandes à l’intérieur de la région (triangle), les limites de x sont zéro et a(— OA). Par suite, d’après (F),
A X F | Fig.. 261. e]s ee PS Je (x? + P)dydr de QE Go Réponse. 4 Ç ; e/ Ç 7 0 4 12 | ‘Si nous supposons le triangle composé de bandes horizontales (telles que RS) 4 b fa a Sp? ; ! ; RS # (x? + y’)dxdy = ab[ — + — ). Réponse. | e/ 0 ay 4 : 49
2. Trouver |, pour le rectangle limité par les lignes æ — 4, y —b et les axes
de coordonnées.
$ REA Rép. fe +rruae ES
Me 79: Trouver I, pour le iriangle rectangle formé par les axes de coordonnées et Ja ligne joignant les points (a, 0), (0, b). |
Rép. di < J $ Ge + dyde = PEN.
4. RE de pour la région comprise à l'intérieur du cercle 4? + y? — r?.
Rép. © | 4 5. Trouver |, pour l'ellipse — 2 RESTE Rép. ii
b2 6. Trouver I, pour la région ne entre la ligne droite OA et une parabole ayant pour sommet O, pour axe OX, et passant, comme OA, par le point A (a, b).
| due, | re 4 = PO NE - ab/a , b?
2 dr tr URED. 5e he (2° + y)dydxz — A 4 La | 1 à
7. Trouver 1, pour la ave limitée par la parabole y? = 44, Hope 4
-æ+y—3a—0 et OX.
MR see Je ne (2x? + y?) dydx au A “(+ due =,
: gta 2 2 ; | ou ee Je "(x + y?)drdy = 73
8. Trouver |, pour la région limitée par le cercle 5 — 2r cos 0 (fig. 262).
Solution. En additionnant les éléments compris dans ki bande de forme triangulaire OP, les limites de : sont zéro et 2r cos 0 (trouvées d’après l'équation du
; cercle). An el ÿ
LS
En additionnant toutes ces bandes. les limites de (] een — d’' APR (ED; | ;
contenus dans une bande circulaire tiéile 4 que QR), nous avons
are cos + Sr ?
“ 4. 1 2" Gd0dz =. Réponse.
sre cos à 2 “
2r cos b ÿ 4 Le ie 5 de RTE Hépons- 54
En additrontie dAbOd fes éléments À
Fig. 262 / 9: Tester Lo pour l'aire limitée par la parabole 5 — a sec?! 9° la DEFENSE à l'axe qui a pour abscisse le paramètre et l'axe polaire OX. NE Rép. 1e ie ce à age ds A8ai
AE
10. Trouver Î, pour l’aire entière de la cardioïde be te — COS 0).
Re NOR PR 2 f° AL Hi EE ie DA
