CHAPITRE AA XI

INTÉGRAPHE. — INTÉGRATION APPROCHEE TABLE D'INTÉGRALES

233. Intégration mécanique. — Nous avons vu que la détermination de l'aire limitée par une courbe C dont l’équation est

et l'évaluation de l'intégrale définie IHOLE

sont des problèmes équivalents.

Jusqu'ici, nous avons considéré la relation entre les variables æ ete y comme étant donnée par des formules analytiques et nous avons appliqué des méthodes analytiques pour obtenir les intégrales cherchées. Cependant, si la relation entre les variables est donnée, non analytiquement, mais graphiquement, comme c’est fréquemment le cas dans les investigations physiques, c’est-à-dire par une courbe (”, la méthode analytique n’est pas applicable à moins qu’on ne puisse obtenir l'équation exacte ou approchée de la courbe. Néanmoins, il est possible de déterminer l'aire limitée par une courbe, que nous connaissions ou non son équation, au moyen de procédés mécaniques. Nous allons étudier la construction, théorie et pratique, de deux de : ces procédés, savoir: l’intégraphe, inventé par Abdank-Abakanowiez(*) et le planimètre polaire. Avant d'aborder la discussion de l’intégraphe, il est nécessaire d'entreprendre l’étude des courbes PURES

234. Courbes tn — Si F(x) et f(æ) sont deux nt tions telles que

à) FC) =).

(*} Par exemple, l'enregistrement fait par un thermomètre enregistreur, un indicateur de machine à vapeur ou par certaines machines à contrôler. (**) Voir les Intégraphes, la courbe intégrale ei ses applicalions, par Abdank-Abakanowicz, Paris, 1889

INTÉGRAPHE | ‘SF ES

la courbe S | ‘ TR est appelée une courbe intégrale de la courbe “es “r) 0: Jo Le nom de courbe intégrale est dû au fait que d’après (C) on voit 34 que la même relation entre les fonctions peut être exprimée comme il suit : |

Lin { . À . a (D) | J fde Ft, "0 F(0)—0.

| à | à à à Traçons une courbe primitive et une courbe intégrale correspondante de R façon qu’on. puisse facile- 50 < ment comparer leurs points de correspondance (fig: De 268). | | 4 VERS Courbe intégrale IN ; y —= F(x). | # l \ 7e LE : $ AP A Courbe primitive < Les È y = fa). ï if Pour trouver une expres- Dos | l sion de la partie ombrée MR Fig. 268. (O'M'P') de l'aire située FR | . sous la. courbe primitive, ÿ - nous substituons dans (A), p. 422, ce qui donne 7. we "4 = Ç . æ [A È | aire O’M'P'— “fe f(x)dz.

Mais, d’après (D), cette expression devient

aire O'MP' — + fade = [Flo 2, = F(@,) = MP (). Ë 0

Théorème. — Pour la même abscisse x,, le nombre donnant: la longueur de

J'ordonnée de la courbe intégrale (B) est: le même que le nombre qui donne l'aire |

* comprise entre la courbe primitive, les axes et l'ordonnée correspondant à cette A

| abscisse. ; ur: JF

7 . . " ; ; NE "gras #}< -courbe.est. quelquefois appelée courbe primitive. | sh 4x Msn e re OR: l'aire Dosttives O'M'R'P' est représentée par l’ordonnée maximum NR. A A Ed

| droite de R' l'aire est sous l’axe des x et, par suite, nègative. En,consèquence, les: ordonnées de

Ja courbe intègrale qui représentent la somme algébrique des aires enveloppées décroîtront en

à passant de R’à T'. La courbe intègrale la plus générale est de la forme

1288 L Ë y = E(x) + CG, al |

cas dans lequel la différence des ordonnèes pour: æ = 0et x = z1 donned’aire située sous la courbe PA

rhneive. ans la Tite intégrale tracée, CG = F(0)= 0, A qe la courbe intègrale

générale est obtenue si cette courbe intégrale est déplacée de la distance C parallèlement à OY. 1Y4

Le lecteur devra également observer que :

a) Pour la même abscisse +,, le nombre donnant la pente de la courbe intégrale est le même que le nombre donnant la longueur de l’ordonnée correspondante Te de la courbe primitive [d’après (C)]. Aussi (C) est quelquefois appelée courbe des

> pentes de (B). Dans la figure 268, nous voyons qu'aux points O,R,T, V, où la courbe intégrale est parallèle à OX, les points correspondants 0’, RTE WiisursIa courbe primitive ont des ordonnées nulles, et correspondant au point W, la courbe primitive est discontinue.

b) Correspondant aux points d’inflexion Q, S, Ü sur la courbe intégrale, nous avons des ordonnées maxima ou minima pour la courbe primitive.

Par exemple, puisque … (a) = . il s’en-

suit que 9 (E) y= .

est une courbe intégrale de la parabole Ve 2 | (F) | = «)

Puisque d’après (F), aire OM,P, = Fu La AL 0 1118 9 et, d'après (E),

3 MD NN EENS A MR ANT EE É , on voit que 2 indique le nombre d'unités linéaires comprises dans l’ordonnée

M,P! et aussi le nombre d'unités d’aire représentées par l’aire ombrée OM,P,. De même, puisque, d’après (E),

COUT t 1e

et, d’après (F), MP, — . À on voit que le même nombre a indique la longueur de l’ordonnée M,P, et la pente de la tangente en P’.

Evidemment, l’origine est un point d’inflexion de la courbe intégrale et un point d'ordonnée minimum sur la courbe primitive.

235. L’intégraphe. — La théorie de cet instrument est extrêmede ment simple et dépend de la relation existant entre la courbe donnée et une courbe intégrale correspondante.

L'instrument est construit comme il suit (fig. 970). Un chariot rectangulaire C

É se déplace sur des roulettes au-dessus du plan dans une direction parallèle à à l'axe des + de la courbe y — (x).

dt. À RE

INTÉGRAPHE RAR

Deux côtés du chariot sont parallèles à l’axe des x; les deux autres, naturellement, lui sont perpendiculaires. Le long de l’un de ces côtés perpendiculaires

se déplace un petit curseur C, portant la pointe à tracer T, et le long de l’autre,

un peuit curseur C, portant une tige F qui peut tourner autour d’un axe perpendiculaire à la surface et qui supporte le disque tranchant D äu plan duquel il est perpendiculaire. Un bouton $, est fixé sur le curseur C, de facon à être à la même distance de l’axe des + que la pointe à tracer T. Un second bouton $,

est fixé dans une traverse du chariot principal GC, de façon à être sur l’axe des æ. Une barre évidée R relie ces deux boutons et coulisse sur eux. Un curseur transversal H glisse sur cette barre et est relié à la traverse F par un parallélogramme. La partie essentielle de l'instrument consiste dans le disque tranchant D qui se déplace sous le poids d’une surface plane continue (papier). Ge disque ne glisse pas et par suite, quand il roule, il doit toujours se déplacer le long d’un chemin auquel la trace du plan du disque est tangente en chaque point. Si maintenant on met ce disque en mouvement, il est évident, d’après la figure, que la construction de l'appareil assure que le plan du disque D sera parallèle à la barre R. |

Si a est la distance comprise entre les ordonnées passant par les boutons S, et S, et + l'angle que fait R (et par suite aussi le plan du disque) avec l’axe des x, nous avons |

ter ER ô (A) 8 j à ts ‘ Vie ET) est la courbe tracée par le point de contact du disque, nous avons Ur LTNNRUE | { Ü TZ —— (B) RE ROUE,

(*) Puisque x=zx +d, où d= largeur de l’appareil et par suite dy __dy" dx __ dy

518 CALCUL INTÉGRAL - | En comparant (A) et (B), il vient

WU, dx a ou | $ die | x (C) = flute [rade = Fe), © c'est-à-dire (en supprimant les accents), que la courbe y = F(x) | est une courbe intégrale de la courbe (D) = + (@)

a intégrale est tracée et n’affecte pas sa forme.

Le facteur -L fixe évidemment simplement l'échelle à laquelle la courbe

Un crayon ou une plume sal attaché au curseur ( afin de-tracer la courbe.

Le déplacement du disque D, avant de tracer la courbe primitive, équivaut au changement de la constante d’intégration. |

286. Planimètre polaire. — Cest un instrument qui sert à. mesurer mécaniquement les aires. Avant de décrire l'appareil, nous

allons examiner la théorie qui lui sert de base.