Calcul de l’aire balayée par une ligne de longueur

constante qui se déplace. — Considérons l’aire ABQB/A'PA balayée par

la ligne AB de longueur constante ? (fig. 271). Soient PQ et P/Q’ des positions consécutives de la ligne, d0 — l’angle POP/— le changement de direction de PQ, | Ô et ds — l’arc circulaire décrit autour de O

a par le point R, milieu de la ligne. En faisant usage des différentielles, nous avons

aire de 0QQ/! => 0Q°d8, (*)

aire de OPP’ HU OP°&.

to

aire PQQ'P'

0°d0 — + OP°a6

= ol

R - POdô * ORdO — Us.

| ee SC

(*) On suppose que l'instrument est construit de telle sorte que les abscisses de.deux.points .corresues des deux courbes différent seulement par une constante; par suite æ est

pondants quelconq une fonction de x’.

(**) Aire d’un seeteur circulaire — . rayon X arc — . OQ - OQd Es OQ°ai.

(0Q + OP)(0Q — OPJdé

Ë | PNA INTÉGRAPHE | EE 519 En additionnant tous ces éléments, on a

(A) | aire ABQB/A/PA — sk lds =! 34 ds = ls,

expression dans laquelle s— le déplacement du centre de la ligne dans une direction constamment perpendiculaire à cette ligne (*). Pour trouver S, SUp- posons que la ligne soit remplacée par une baguette ayant une petite roue au

centre R, la baguette étant l’axe de la roue. Quand la baguette se déplace horizontalement au-dessus de la surface (papier), en général, la roue glissera et

tournera. Evidemment

s — distance dont elle roule — Circonférence de la roue >< nombre de tours. (B) Ste 2xrn,

de rÀ

expression dans laquelle » — le rayon de la roue et n — le nombre de tours. En substituant (B) dans (A), nous obtenons À

Jusqu'ici nous avons tacitement supposé que les aires étaient balayées constamment dans la même direction.

Il est d’ailleurs facile de voir que les résultats sont vrais sans aucune restriction, pourvu que les aires soient