INTÉGRATION APPROCHÉE HP

En additionnant, nous obtenons

SG + 2y, + 2y; +... +2y, , æ y:)Ax = aire des trapèzes.

__ Par suite, la règle des trapèzes est

(4) aire— (ant pa ee yat + Pa )AX.

Pr tel : Aie 25 à.à

plus Aæ est petit), plus la somme des trapèzes se rapprochera de l'aire hmitée par la courbe.

12 3 < n. | 2 LD

EXEMPLE. — Calculer f æ?dx par la règle des trapèzes, en divisant æ—1

.à æ—12 en onze intervalles.

b—a__ 12—1 à : 41 la courbe y—x?. En substituant les abscisses æ— 1, 2, 3, ..,12 dans cette

Solution. Ici, — 1 — Ax. L’aire en question est comprise sous

équation, nous obtenons les ordonnées y—1, 4, 9, …, 144. Par suite, d’après (A), :

aire = (544 + 9 4-16 + 98 4 30 + 40 + 64 L A + 400 +491 + va) .4 577

re 2 5 Lt r . ‘ "12 x? 12 y Par intégration, / mOn je 019 2e e/ Î 3" } 3

Donc, dans cet exemple, la règle des trapèzes donne une erreur inférieure à un tiers de 1 pour 100.

240. Règle de SRARESERE . (Règle de la parabole). — Au lieu de tracer des lignes droites (cordes) entre les points d’une courbe et de

obtenir une approximation de l'aire encore plus grande en réunissant les points par des arcs de parabole et en additionnant les aires com-

passer une parabole avec un axe vertical par trois points quelconques

Fig. 275.

ces ares s’adaptera plus exactement

. sur la courbe que la ligne brisée des cordes. Divisons maintenant

Il est clair que plus le nombre des intervalles est grand (c’est-à-dire

former des trapèzes, nous pouvons.

prises sous ces arcs. On peut faire

pris sur une courbe et une série de

LS = Le Fe D ae En

et l'aire du segment parabolique PE are — les deux tiers du parallélo- à gramme circonscrit P,P;P;P, | 4

l'intervalle de æ = à = OM, à æ — 4 — OM, en un nombre pair (=n) de parties, chacune d’elles étant égale à Ax. Par chaque groupe

successif de trois points P,, P,, P,::P,, PP etc. Fsont-treés des arcs de paraboles avec des axes verticaux. D’ après la figure 275,

aire de la bande parabolique M,P,P,P: M. == aire du trapèze M,P,P. M, % 4 | —- aire du segment parabolique P,P Pl

Mais, l'aire du trapèze M,P;P,M — = TC Yo + y>)2Ax | = (yo + y2)AX,

E 2y Ko TG it 2) [24 = + (27: — Yo — Y:)AR.

Par suile, l'aire de la première bande parabolique M,P,P,P.M, = Gi yn)Az + En — y — Ar

— a (0 te (Un + Ye).

De même, deuxième bande — 0 + Ays + Yi), "+ AS x à troisième bande — a Qi + 4ys + Yo), n° bande — a Gite AY, 1 Fra).

En additionnant, nous obtenons comme somme de ces res 0 —— RE Ge By 24e + hs + 2y He 2e + Ann en) Par suite, la règle de Simpson est @ étant pair) (B) aire RE Gi+ ire 4ÿs +27 +: pe

Comme dans 1e ças de la règle des trapèzes, plu le nombre des | à parties suivant lesquelles M;M, est divisé est grand, plus le résultat no

Rue DS

approchera de laire comprise sous la courbe. TER LA EUR

TH à | { à \

Exewrce. — Calculer À Û dx par la règle de Simpson, en prenant ï dix intervalles. DA RUES | He

| E< Solution. Ici b— a SE ESA on 10

L’aire en question est comprise sous la courbe y = x. En substituant les eue æ—0,1,2,...,10 dans y — zx, nous obtenons les ordonnées y = 0, 4, 8,27, …., 1000. Par suite, d’après (B),

2 | — Ar.

aire = RQ A+ 162 108 198500 130

Par FRURE Je mdr — al —= 2 500, “ 0 0

se sorte que, dans cet exemple, la Ho de Simpson arrive à donner un résultat cn |

EXEMPLES

4. Calculer l'intégrale de l'exemple 1 (ci-dessus) pee la règle des trapèzes en * prenant dix intervalles. Rép. 25%.

2. Calculer Pi par les deux règles quand n — 12. she Rép. Trap. 1,6182; Simp. 16098.

3. Evaluer a x°dx. par les deux règles quand n — 10. G Rép. Trap. 3690; Simp. 3 660.

4. Calculer TROT zadx par les deux règles quand .n — 10. rs | | Rép. Trap. 6,0656 ; Simp. 6,0896.

5. Evaluer A z is , par Îles deux règles quand n — 6. | PIRE Rép. Trap. 1,0885 ; Simp. 4,0906.

6. Calculer IE sin ædæ par les deux règles pour des intervalles de dix degrés. b