TIC STT A 2 VO ER US JE

tives, suivant qu’elles sont balayées vers le côté de la ligne sur laquelle ds est pris positivement ou inversement. Choisissons les signes comme l'indique la figure 272, Si la ligne AB revient finalement à sa position pri- ‘5e mitive, À et B ayant décrit des courbes fermées, il est évident que la formule ci-dessus donnera (en tenant compte des signes) l'excès de l'aire limitée par le trajet de A sur celle limitée par le trajet . de B. ; Car : Ù |

aire positive — ABQB/A'PA — ABDB'A'PA + courbe fermée BQB'DB ;

aire négative — B'A'CABDB’ — ABDB/A'PA + courbe fermée APA/CA.

En prenant la différence, nous avons aire nette — courbe fermée BQB’DB — courbe fermée APA'CA:

Si l'aire de l’une de ces courbes fermées est nulle (telle que APA/CA),

par la ligne sera égale à l’aire de la courbe fermée BQB'DB. |

- Un type simple et souvent employé de planimètre polaire a été inventé par Amsler, de Schaffhouse en 1854. Il consiste essentiellement en deux barres OA et AB, articulées en A, OA tournant autour d’un point fixe O et AB étant

- (* Il doit être observé que s ne sera pas la longueur de la trajectoire décrite par le centre R à moins que AA’ et BB’ ne soient des arcs de cercle de centre O.

(GC) aire balayée — 2rrin. t

considérées comme positives ou néga-

% c’est-à-dire si À accomplit le même trajet à l’aller et au retour, l'aire balayée

l'axe d'une roue située en son centre R et ayant une pointe à tracer en B : (fig. 273). Si la pointe à tracer décrit comjointe plètement la courbe fermée, A oscillera

traçante de long enlarge le long d’un arc de cercle

(tel que CD), décrivant un contour d’aire

AB égale exactement l’aire de la courbe fermée ; elle est donnée par la formule

(D) Aire de la courbe fermée — 2rrin.

dans laquelle |

1 — Ja longueur de la barre,

r = le rayon de la roue,

n = le nombre de tours indiqués sur la roue après que la pointe à tracer a effectué un circuit complet de la courbe.

238. Intégration approchée. — Puisque la valeur d’une inté- .

grale définie est une mesure de l'aire limitée par une courbe, il $’ensuit que la mesure exacte d’une telle aire donnera la valeur exacte d’une intégrale définie, et une mesure approchée de cette aire donnera une valeur approximative de l'intégrale. Nous allons expliquer maintenant deux règles approchées pour mesurer Fe aires.

239. Règle des trapèzes. — Au lieu d'inscrire des rectangles dans l’aire, comme au $ 204, p.

418, il est évident que nous obtiendrons une valeur approchée beaucoup plus précise de Paire en y inscrivant des trapèzes. Ainsi, divisons l'intervalle de æ — a à æ —b en n parties égales et désignons chaque partie par Ax. L’aire d’un trapèze étant égale au demi-produit de Ja somme des côtés parallèles par la hauteur, nous obtenons :

On + y,)Aæ = aire du premier trapèze ;

+ GA + y) = aire du sécond trapèze ;

+ + y,)Ax = aire du n° trapèze.

nulle. Par suite, l'aire balayée par la barre.