Différentiation de la fonction exponentielle générale

Soit y (D: A LUN

En prenant les logarithmes des dns membres dans le système de base e, nous avons

| log, y — oc ou SE RU 77 SABRE CRE <

En différentiant d’après la formule IX a, il vient

AY 2 rtogu À. (vlogu).

l'E dx dx : LR ÈNRE

he v D noga FOR ŒU do PR REOS ‘4 | a We < ae Hlogu ) ne Li v du do | : 1 dx ue).

x À (ur) = vu SES be

(*) x ne peut prendre ici que des AA SEM MT Gi

ê | RÈGUES POUR orPÉRExTIRE) LES FORMES. ÉLÉMENTAIRES CLASSIQUES mn

Ÿ. La dérivée d'une fonction à exposant variable est égale à la | somme des deux résultats obtenus en différentiant d'abord d'après NI, : 504 en considérant l'exposant comme une constante, et en différentiant ns. de nouveau d après IX, en considérant la fonction comme une con stante. ARDENNE | +000

- RUES SA SE : 27 08 à Soit. b—An une constante carondues La formule X se réduit | | alors à |

"4 pe + . | = À . b . : Le Le ge x ; \ * è

Mais ce résultat est la formule différentiée au$ 40. Par conséquent, la formule VI est vraie pour une valeur quelconque, de. DNS,

| Ex { Différentier y — log sx h

Be BASOTU tion. ‘ -; : pt LR RE RE COR à d’après Villa | LASER . + dœ NC ENT <RÈRe ME | J | À ou | 4 He. À [v= x? + a.] ' 1 ee RS Æ {s c 4 ; \ - | = + Rép.

DA 0 | .L* 44 . 4 RCD æ é 1ù 1 EXEMPLE IL — Différentier UE “e Vie A — 72. 7 La UE / LA à ARCS \ Des — x?)? | ‘100 RSA DA OIE- <uRE dx g J LS Solution. PI ARE ARE ae d'après Villa en - we #1 . } ï Ë Es dx Se | ù L D Ga) : FM \ 2 FR . ee :

JS ” 1 Mere, © . ' «0 My 26 de AC) d'après VI ET » i ‘ A y Le #: 4 Ù re à re se. #1 ï \ ‘ (4 es DE 2 TE e A Éd > , ES # PE RER Rép.

ï YU E x? Laare: 1 '

Ex IL — Différentier Heure.

LE. ; 5 op "er (2) + d'après IX.

È Fe Sr. | VASE: — Gr log a: . a? Rèp S - | IExeueue HV. — - Bifférentier. = ber TA, D NA SUEE À (ec vo A d'après IV.

he % Fa : ; dx dx ù | Re bec + en d (e Le æ) ET. d’après: 1X:a = bre®+ ri Rép...

Ko:

y Fe æ &

#6 7 JCALOUL DIFFÉRENTIEL / 0 re

Exewrce V. — Différentier We DS x F4 IST Solution. = érr er (a) + at log après X 1 € \ , TA pe D ge joe e® | À k = cet + los e). Rép. | 13600 47. Différentiation logarithmique. — Au lieu d'appliquer tout | de suite les formules VIT et VEIT 4 pour différentier les fonctions loga- . rithmiques, on peut quelquefois simplifier le travail en tiilissh ti d’abord une des formules 7-10, page 1: Ainsi, l'exemple 2 Ci- -dessus 1 . peut être résolu dela façon suivante: | | EXEMPLE L — Diftérentier y — log VA re. | À Solution. En utilisant le n° 40, p. 4, nous pouvons écrire le membre de. droite sans radical, de la facon suivante :

y= log (A — 2?) | PO ee à MUR «a? Le à « ei L 4 54 Alors | Fine) pars RUN fit Yo TT or DL RreL | FR SE - Réponse. é.

dx: 42%; m1 La FA | VA SEC ExemPLE Il. — Différentier y — log V/! Den ere | . — x? VU

Solution. En simplifiant au moyen du n° 40 et du n° 8, p.-1, nous avons

y —3[log Ë + 22) — log(t — x?)|; L'MER PISE SR E Pole tete de Ni ENS rt TE ST —- après al a, st

“ Ê = Rép” 4 Fr ie

TA AT 1 Pour différentier une fonction exponentielle, en particulier une: variable à exposant variable, la meilleure méthode est de prendre. ‘d'abord le logarithme de la fonction et de différentier ensuite. Ainsi, l'exemple V, p.56, est solutionné de facon plus élégante comme il

suit :

Exempce HE — ‘Différentier y — x°°. | | RATES

RÈ GLES POUR SDIFFÉRENTIER LES | FORMES ÉLÉMENTAIRES GLASSIQUES Li

th

| Solution. En Ho les logarithmes des deux membres, il vient

d’ DDtES 9:p, 4.

de er (log æ) + log me (0°) d’après VIIL et V

dy M vT He. y — + log x k x dx 5 4 ( “A he ë | | 2 Le so tre log æ) Rép. | +4 Eseuir IV. — Différentier y (a? — + Ve, $ 1. 3 | Solution. Prenons les logarithmes des deux membres, nous avons À 4 AE ogy=(2+ Va 5) log (4x? — T). x ss En différentiant par rapport à à æ, il vient ‘5 RTE 0 as Des = + log CU F2 Fe ni. Le = ae ais ds Var se + Va? — 2e) lo Ga 1) | Rép. is a nd BAT T Vars # ee Fe à i “3 A ÿ 1 Dans le cas d’une fonction composée d un grand nombre de fac- 3

{eurs, il est quelquefois commode de prendre les NÉS avant de | diférentier. Ainsi - Fes |

: Ve Différentier RS (3) — 4)

1 F4 ie tsto CA | … T— dr 8 : x —4 | 9x2 — 407 + 44 rire us PCR REDON RE ERA sn ss En ERA

@— os @@ — 9)? (x — 3}? (v Lt

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Bt 4 7 PTT a LUCAN ES 2 ar À PE 4 | M “EE pREyOS

À 58 | , CALCUL DIFFERENTIEL CHE F2 ss EXEMPLES. +4 œion x Perte 1206 REA L ; 2 4 \ be 4 (2 ; $ Différentier les fonctions suivantes : - A NAT - 3:54

LE Se EE EU à dt x+a .

CRE a ee | 2. y — log (ar + b). | | 2. re

1 +2 dy = A4