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première, fonction. directe, et la seconde, fonction inverse. Ainsi, dans les exemples qui suivent, siles seconds:membres:de la première colonne sont considérés comme fonctions directes, les membres correspondants de la deuxième colonne seront respectivement leurs fonctions inverses.
| pH Es D be Ua”, æ— log y.
À | y—SINMXT, = ET CSL] y.
… Différentions maintenant.simultanément, d'après la Règle générale, les fonctions inverses
ne \ = ICHRNS AC EETONR
n l°y+Ay— ESS 2 + A = ç(y + Ay) À 2 y Ay = f(x + Ar): DH AR = fr y) Wyr sx) D 5 =) Ay = f(x + A) — f(x) Ag — 9(y + Ay) — (y) De. dy fé+Ar)—fa) Ar +4) — à) D. INR Ac - Ay Ay:
En faisant le produit des membres de gauche de ces relations, nous obtenons’
So tRES À 4 À Aæ Ay ou Ay 1 Nr A FL Ay … 4° En: passant à la limite, # F2) | dy 1 ; 6 Æ dx dx F' LER dy s où | | AY 1 À (D) ; f! X)= ——— .
La dérivée de la fonction inverse est égale à l'inverse de la 2 dérivée de la fonction directe.
| SLT Différentiation d’un. logarithme. — Soit … g=lgv().
# Ho loctour: ne: doit pas. din que cette.fonction n’est dèfinie que. pour les valeurs positiy es a re a et de la variable v.
0e 52 | CALCUL DIFFÉRENTIEL … “UN > V7 ENS
«ré Dérontons d’après la Æègle générale, D. 33, en considérant |
58 Vi comme la variable indépendante, nous avons © | 5408 | | F | 1 y + Ay— log,(v+ Av). tr Le Do Ay = log, (o Dre Av) — LR log, D () : | 4 : it . (o+ Av de 1 + —= E()= —= log, (1 + — RE Re.
1 Ÿ (2) (2 ‘ à SR | | (D’après 8, p. 1.) RAR AU Sp v. 1 } 1% 4); « ñ At 1; Av 1 Av + je à ï 30 ay bre, Â pis — lo (| na æmReVal VR De "an av PCT ee 0 ÿ 4 - E PRE Av | 4 # En — log. ; + — né : las # [En divisant le logarithme par vet en multipliant, en même temps, l’exposant de la parenthèse) | ; par v, on change la forme de l’expression, mais non sa valeur (voir 9; P. fl 4 | j d 1 | LE = Joe, e: 4 Ô HE te : 0) [ Quana av tend vers zéro, a tend aussi vers 0, Par conséquent, ue (: ++ )a=e L
d'aprés le $ 23 de la p. 24, en posant. = âv | j v Par suite, | | mat 7 Lane d ae | + (A) J — log, v e) = log, e : à
do dv
Puisque v est une fonction de x et qu'il s agit de différentier log, ji par rapport à æ, nous devons faire usage de la formule (A): S 12, relative à la différentiation d’une fonction de fonction, Savoir : S
fe : dy __ dy. dv eu en. Ne | der do. da RSS si) | En substituant la valeur de a tirée de (A), nous obtenons.
dy LS do:
LR — loge LATE
dx Re æ *
(*) Si nous effectuons les troisième et nez ICS opérations de la Règle A sans transformer!
Je membre de droite, nous avons \ À 3*-opération. ay log + Ar) —logqv È + 3 ” ; , À | DE ; Av A CNE +0
# - dy 0 % 5 : Se a “4 74 4* opération. MARS » qui est indéterminée. k RTS \ v Y
Par suite, la valeur limite du membre de droite dans la 3° opération ne peut être trouvée pal substitution directe et la transformation ci-dessus est nécessaire.
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EG LES POUR DIFFÉRENTIER | LES F ORMES D LÉMENTAIRES CLASSIQUES 193 QUE ALT
4 Pare UE RU vi ! Fe | >
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RU FS 5 AT a (loge v n= log € Ge." ge st :
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s 4 | Quand (es 8. LS e un mnt dé VIII to ient
TS dv.
Le ae RTE te d (og =.
La dérivée vu moe d’une fonction est égale au produit du 7 odule (*) du système de logarithmes par la dérivée de la fonction r divisé par. la fonction.
‘Ka
45. Différentiation de la fonction exponentielle simple, «Soit. < EN PTE FAR AU
*# En renant fe logarithmes des deux membres dans le s stème de à
pe : : « logy—=vloga,.
ap TS à ni lo8 y De --‘log a ” a RL * log y.
ae SAS EUR “loga Ru.
L Diliérentions par rapport à à y; d’ après la formule VIII 2, | pe CAFE do LAETS : st dy loga y° el d'après (C), É 43, concernant les fonctions inverses, nous obtenons D | = log a -y, D 4 Lier RASE di Me = lo ga".
“ e : FE 48 5
Le Le TIRER de e par rapport à une base quelconque a (=log,e) est appelé le module du ème dont la base est a. On montre en Algébre qu’on peut trouver le logarithme d’un nombre dans un système de base quelconque a, au moyen de la formule
à log, N = log, e log, N — —lo8eN,
log, a Le module des logarithmes décimaux de Sn est. à
par rapport à æ, nous devons faire usage de la formule (A), $ 42, relative à la différentiation d’une fonction de fonchon, savoir k
‘à dy __ dy dv 1 D dx do dx
En substituant la valeur de tirée de (A), nous obtenons < |
IX ES (a)= log a: a. 2
Quand a —e, loga— log e—1, et.IX devient
Poe: IX a | À (er) ss. Sa dl dx dx
La dérivée d'une constante ayant une variable comme exposant |
est égale au produit du logarithme naturel de la constante par l@
fonction exponentielle donnée et par la dérivée de l RME
dd
