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3 face a grande que celle de n'importe lequel des autres. En d’au- 2 res termes, nous pouvons conclure de là que la fonction définie par 0 a une valeur maximum. Nous ne pouvons pas trouver exacte-
ment cette valeur (HT) en mesurant, mais il est très facile de la trouver en utilisant les méthodes de l'Analyse. Nous avons observé qu’en la tangente est horizontale ; par suite la pente est nulle en ce point Ÿ (exemple 1. p. 82). Pour trouver l’abscisse de T nous chercherons … donc la dérivée première de (1), nous légalerons à zéro et nous ré-
| soudrons par rapport à æ. Ainsi,
«y DE 00e, D AIO
nn : \/ 100 — x"
En résolvant, on obtient — 5/2.
- En substituant cette valeur de æ dans l'expression de DE, nous obtenons : 5j DE —1/100 — x° — 51/2.
æ Par suite, le rectangle d’aire maximum inscrit dans le cerele donné est un carré dont la surface est de
: é A CD DE #52 — Ho.
a . La longueur de HT est par conséquent 50.
Prenons un autre exemple. Une boîte en bois doit être construite 4 de façon à contenir 108 centimètres cubes. Elle doit av oir la partie supérieure ouverte et une base carrée.
Quelles doivent être ses dimensions pour que l’on ait à employer le minimum de matériaux, c’est-à-dire pour que la dépense soit la plus petite possible ?
Soit x — longueur en centimètres du côté de la base carrée |
et Po — hauteur de la boite.
Puisque le volume de la boîte est donné, y peut être trouvé en | foneton de:z.
D. 118 | CALCUL DIFFÉRENTIEL |. gi pe Ainsi, volume = 2°y — 108 ;: Re RS “ 10 | Re - d'où ? et ke é XL” + “ ; Éa Nous pouvons maintenant: exprimer comme 1l suit le A0 DE M a de centimètres carrés de bois nécessaires en fonction de x : | 75 aire de la base — x° centimètres carrés, 3 D S ù < (Na ; J 39 s k : ‘7 Le L4 4 < x r Di et aire des quatre cô côtés — kxy = —" centimètres carrés. 4 ë Par suite, FR Pa | / F er. ù 432 | Si:
$ (2) Fes Mme L BA: % a Re est une formule donnant le nombre de centimètres carrés de bois s. | ; . à 4 M - 5 "4 | À 2507 | À . } #= 2 À RÉ 200 l | 4 “ sf 2 5 ct | - | 3 e } l 2% | j l I 4 A :
: 1 E | 8 0 | } } R l ! I | - | Re RE Pa Te 6 - RE SRI ES NUE 438 fé à qe à 7 = ne 3 | | [ j | ( 8 TR RE a en Lea 9 S A 1 10 ÿ “à , Î [ PCI | 1 | M | a L'ORRSS LATEST Te ET ce y +20 2 Fig. 42 :
+ nécessaires pour une boite ayant une capacité de 108 centimètres ee cubes. EC | #4 3 Traçons le graphique de (2) (fig. 42). | 0 #3 Que nous apprend ce graphique ? Er <È Se (a) S'il est dessiné avec soin, nous pouvons mesurer Vol De. | correspondant ? à une longueur quelconque, æ, du côté de la base car LCR 5 rée et déterminer ainsi le nombre de centimètr es carrés de bois néces- Mie x a” pli : 4 É: À sue és F ; 3 ed ” 2 * Le à x - Le 2 <*
"@): I y à une seule tangente horizontale (RS). L’ordonnée de son + de contact est plus petite que toute autre ordonnée. D'où cette . découverte: Une des boîtes nécessite évidemment moins de bois que # n'importe laquelle des autres. En d’autres termes, nous pouvons … conclure que la fonction définie par (2) a une valeur minimum. Trou- *. vons exactement ce point sur le graphique, en utilisant les mé- . thodes de l'Analyse. En différentiant (2) pour obtenir la pente en un
4 point quelconque, nous avons
A JS Pers L'— 5
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Au point le plus bas T, la pente est nulle. Par suite. fer à È s LA
- Fe: Ki 2x LE 9 — (Q ;
