Développement de F (x).— Si, dans la for

mule (1), on faitx—o, et qu'on remplace ensuite la

. lettre À par la lettre x, on obtient

| F(æ)=F(o)+xF'(o)- F'(o)+ x"! n [14 ! 6 D PES Te ve

On peut ainsi développer une fonction de x suivant les puissances de x, pourvu que cette fonction et ses dérivées ‘jusqu'à l'ordre z soient continues entre o et x.Si, à mesure

sl: 4 que augmente indéfiniment, l'expression ———— E" (0x) RME TC

tend vers zéro, la fonction F (x) pourra être exprimée par la formule

(4) P{z)=F(0)+2F"(0)+-— F’(0)+...; c'est-à-dire que la limite de la somme des termes du second membre est EF (x}. Cette dernière formule est celle de Maclaurin.

Si on l'avait obtenue avant celle de Taylor, on en déduirait celle-ci en considérant F(x+ A) comme une fonction de X et la développant par la formule de Maclaurin.

Formule plus générale. — On peut encore développer F (x) d’après la formule de Taylor, en remplaant X par Xo+ (x — 29); on trouve ainsi

, Grec DER) + re — 20) Fa) + Em) +...

et lon peut toujours choisir x, de telle sorte que F (x), FE” (20), ete., ne soient pas infinies. Maïs cela ne suflira pas, et il faudra toujours s’assurer que le reste de la série,

dont nous connaissons l’expression, a pour limite o. Autre formule. — Enfin la série de Taylor a conduit :

Bernoulli à une autre forme de développement peu em=

ployée. Si l’on y suppose h = — x, elle devient

M, f À x° 1/4 x° //1 { F(o)=F(x)—xF (CEJRESR (x )— NS (x)+..., d’où (5)F(x)=F(o)+x (re) A" (2) 3 F’(2)— 4

Les coeflicients des différenies puissances de x sont eux-mêmes des fonctions de x; de sorte que Pon ne trouve pas dans ce développement le principal avantages que l’on cherche, qui est de remplacer la fonction parun polynôme entier et rationnel. On s’assurerait de son exactitude ,; comme dans les formules précédentes. |